有一類問題，要求我們將一個正整數x，分解為兩個非平凡因子（平凡因子為1與x）的乘積x=ab。
顯然我們需要先檢測x是否為素數（如果是素數將無解），可以使用Miller-Rabin算法來進行測試。
Pollard Rho是一個非常玄學的方式，用於在O(n^1/4)的期望時間復雜度內計算合數n的某個非平凡因子。事實上算法導論給出的是O(√p)，p是n的某個最小因子，滿足p與n/p互質。但是這些都是期望，未必符合實際。但事實上Pollard Rho算法在實際環境中運行的相當不錯。
Pollard Rho利用偽隨機數生成公式來提供待測因子，其公式為xi=xi-1^2+c(mod n)，其中c是開始時確認的隨機常數。我們只要給出x1，利用這個公式可以生成一系列數值。由於每個數完全依賴於前一個數，因此數值的分布中必定含環，我們設t為環的路口，u為環的周長，那么有xt+i=xt+u+i。而整個數值分布就像一個ρ符號，因此該算法的后綴用Rho來表示。我們將該公式得出的序列視作隨機序列。
生日悖論中指出一個√d個學生的班級中，期望至少有一對人在同一天生日，其中d是一年中的日期，即365。同樣一個√d個人的班級中，至少有一對人在同一天生日的概率大於50%。我們將n視作一年中的天數，而1~n-1中的每個值都對應一年中的日期，將x1,x2,...視作學生，那么序列中期望有兩個有兩個人相同，只需要序列的長度達到√n即可。因此我們可以認為ρ符號的尾部與環的周長的期望均為√n。
假設n=ab，其中a與b均不是n的平凡因子，我們假設a<=b，可知a<=√n。我們記yi=xi(mod a)。可知：
$$ y_i=x_i\left(mod\ a\right)=\left(x_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ n\right)\left(mod\ a\right)=\left(x_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ a\right) $$ $$ =\left(\left(x_{i-1}\left(mod\ a\right)\right)^2+c\right)\left(mod\ a\right)\Rightarrow\left(y_{i-1}^2+c\right)\left(mod\ a\right)=y_i\left(mod\ a\right) $$
我們依據a為模數建立了新的一個ρ型軌跡，且a的ρ型軌跡的環必然僅出現n的ρ型軌跡的環上的數值（模a的結果）。由同樣的分析可得a的ρ型軌跡的環的尾部和環的長度的期望均為n^(1/4)。對於a的ρ型軌跡的環上的任意一點k，假設其對應的是兩個不同的值xi與xj，即xi<>xj(mod n)但xi=xj(mod a)。此時可以知(xi-xj)=rp(mod n)，而gcd(xi-xj, n)的結果必然是n的一個非平凡因子（且能被a整除）。我們可以利用一個特定的變量p先后在迭代到x1,x2,x4,x8,...時記錄這些值，之后每次都校驗gcd(xi-p, n)是否既非1又非n，如果滿足則找到n的非平凡因子，否則繼續迭代。之前說過a的ρ型軌跡的環的尾部和環的長度的期望均為n^(1/4)，因此當我們p記錄xh時，其中xh落在a的ρ型軌跡的環上且h大於等於環的周長時，此時我們會沿着a的ρ型軌跡的環進行周而復始的循環迭代，最終在修改p之前xi回到了xh的位置，此時借助gcd(xi-p, n)我們就找到了一個n的非平凡因子。h的期望應該為O(n^(1/4))，因此時間復雜度的期望應該為O(n^(1/4))。
下面給出代碼：
pollard_rho(x) c = random() xi = random() i = 1 h = 1 xh = xi while(true) xi = (xi * xi + c) % n f = gcd(x, abs(xi - xh)) if(f != 1 && f != n) return f i = i + 1 if( i == h * 2) h = i xh = xi