曲線長
$$
L=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}=\int_{a}^{b} \sqrt{1+f'^2(x)}dx
$$
旋轉圖形表面積
設平面光滑曲線 $y=f(x) \in C^1[a,b]$，且 $f(x) \ge 0$，求它繞 $x$ 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積
$$
S=\int_{a}^{b}2 \pi f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx
$$
旋轉圖形體積
設平面光滑曲線 $y=f(x) \in C^1[a,b]$，且 $f(x) \ge 0$，求它繞 $x$ 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的體積
$$
V=\int_{a}^{b} \pi f^2(x)dx
$$
設平面光滑曲線 $y=f(x) \in C^1[a,b]$，且 $f(x) \ge 0$，求它繞 $y$ 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的體積
$$
V=\int_{a}^{b}2 \pi x f(x)dx
$$