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一、最短路徑
①在非網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊數最少的路徑。
AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3
②在網圖中，最短路徑是指兩頂點之間經歷的邊上權值之和最短的路徑。
AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70
③單源點最短路徑問題
問題描述：給定帶權有向圖G＝(V, E)和源點v∈V，求從v到G中其余各頂點的最短路徑。
應用實例——計算機網絡傳輸的問題：怎樣找到一種最經濟的方式，從一台計算機向網上所有其它計算機發送一條消息。
④每一對頂點之間的最短路徑
問題描述：給定帶權有向圖G＝(V, E)，對任意頂點vi,vj∈V（i≠j），求頂點vi到頂點vj的最短路徑。
解決辦法1：每次以一個頂點為源點，調用Dijkstra算法n次。顯然，時間復雜度為O(n3)。 解決辦法2：弗洛伊德提出的求每一對頂點之間的最短路徑算法——Floyd算法，其時間復雜度也是O(n3)，但形式上要簡單些。
二、Dijkstra算法
①基本思想：設置一個集合S存放已經找到最短路徑的頂點，S的初始狀態只包含源點v，對vi∈V-S，假設從源點v到vi的有向邊為最短路徑。以后每求得一條最短路徑v, …, vk，就將vk加入集合S中，並將路徑v, …, vk , vi與原來的假設相比較，取路徑長度較小者為最短路徑。重復上述過程，直到集合V中全部頂點加入到集合S中。
②設計數據結構 :
1、圖的存儲結構：帶權的鄰接矩陣存儲結構 。
2、數組dist[n]：每個分量dist[i]表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑的長度。初態為：若從v到vi有弧，則dist[i]為弧上權值；否則置dist[i]為∞。
3、數組path[n]：path[i]是一個字符串，表示當前所找到的從始點v到終點vi的最短路徑。初態為：若從v到vi有弧，則path[i]為vvi；否則置path[i]空串。
4、數組s[n]：存放源點和已經生成的終點，其初態為只有一個源點v。
③Dijkstra算法——偽代碼
1 1. 初始化數組dist、path和s； 2 2. while (s中的元素個數<n) 3 2.1 在dist[n]中求最小值，其下標為k； 4 2.2 輸出dist[j]和path[j]； 5 2.3 修改數組dist和path； 6 2.4 將頂點vk添加到數組s中；
④C++代碼實現
1 #include<iostream>
2 #include<fstream>
3 #include<string>
4 using namespace std;
5 #define MaxSize 10
6 #define MAXCOST 10000
7 // 圖的結構
8 template<class T>
9 struct Graph
10 {
11 T vertex[MaxSize];// 存放圖中頂點的數組
12 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放圖中邊的數組
13 int vertexNum, arcNum;// 圖中頂點數和邊數
14 };
15 // 最短路徑Dijkstra算法
16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v)
17 {
18 int dist[MaxSize];// i到j的路徑長度
19 string path[MaxSize];// 路徑的串
20 int s[MaxSize];// 已找到最短路徑的點的集合
21 bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得頂點V0至Vw的最短路徑
22 // 初始化dist\path
23 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
24 {
25 Final[i] = false;
26 dist[i] = G.arc[v][i];
27 if (dist[i] != MAXCOST)
28 path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i];
29 else
30 path[i] = " ";
31 }
32 s[0] = v; // 初始化s
33 Final[v] = true;
34 int num = 1;
35 while (num < G.vertexNum)
36 {
37 // 在dist中查找最小值元素
38 int k = 0,min= MAXCOST;
39 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
40 {
41 if (i == v)continue;
42 if (!Final[i] && dist[i] < min)
43 {
44 k = i;
45 min = dist[i];
46 }
47 }
48 cout << dist[k]<<path[k]<<endl;
49 s[num++] = k;// 將新生成的結點加入集合s
50 Final[k] = true;
51 // 修改dist和path數組
52 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
53 {
54 if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i])
55 {
56 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i];
57 path[i] = path[k] + G.vertex[i];
58 }
59 }
60 }
61 }
62 int main()
63 {
64 // 新建圖
65 Graph<string> G;
66 string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" };
67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]);
68 G.vertexNum = length;
69 G.arcNum = 7;*/
70 ifstream in("input.txt");
71 in >> G.vertexNum >> G.arcNum;
72 // 初始化圖的頂點信息
73 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++)
74 {
75 G.vertex[i] = temp[i];
76 }
77 //初始化圖G的邊權值
78 for (int i =0; i <G.vertexNum; i++)
79 {
80 for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++)
81 {
82 G.arc[i][j] = MAXCOST;
83 }
84 }
85 for (int i = 0; i < G.arcNum; i++)
86 {
87 int m, n,cost;
88 in >> m >> n >> cost;
89 G.arc[m][n] = cost;
90 }
91 Dijkstra(G, 0);
92 system("pause");
93 return 0;
94 }
// input.txt
1 5 7 2 0 1 10 3 0 3 30 4 0 4 100 5 1 2 50 6 2 4 10 7 3 2 20 8 3 4 60