Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的最短路徑路由算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。
其基本思想是，設置頂點集合S並不斷地作貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬於集合S當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。
初始時，S中僅含有源。設u是G的某一個頂點，把從源到u且中間只經過S中頂點的路稱為從源到u的特殊路徑，並用數組dist記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂點u，將u添加到S中，同時對數組dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源到所有其它頂點之間的最短路徑長度。
例如，對下圖中的有向圖，應用Dijkstra算法計算從源頂點1到其它頂點間最短路徑的過程列在下表中。
Dijkstra算法的迭代過程：
主題好好理解上圖！
以下是具體的實現(C/C++):
#include <iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
bool s[maxnum]; // 判斷是否已存入該點到S集合中
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = c[v][i];
s[i] = 0; // 初始都未用過該點
if(dist[i] == maxint)
prev[i] = 0;
else
prev[i] = v;
}
dist[v] = 0;
s[v] = 1;
// 依次將未放入S集合的結點中，取dist[]最小值的結點，放入結合S中
// 一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源點到所有其他頂點之間的最短路徑長度
for(i=2; i<=n; ++i)
{
int tmp = maxint;
int u = v;
// 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
{
u = j; // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼
tmp = dist[j];
}
s[u] = 1; // 表示u點已存入S集合中
// 更新dist
for( j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
{
int newdist = dist[u] + c[u][j];
if(newdist < dist[j])
{
dist[j] = newdist;
prev[j] = u;
}
}
}
}
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
int que[maxnum];
int tot = 1;
que[tot] = u;
tot++;
int tmp = prev[u];
while(tmp != v)
{
que[tot] = tmp;
tot++;
tmp = prev[tmp];
}
que[tot] = v;
for(int i=tot; i>=1; --i)
if(i != 1)
cout << que[i] << " -> ";
else
cout << que[i] << endl;
}
int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
// 各數組都從下標1開始
int dist[maxnum]; // 表示當前點到源點的最短路徑長度
int prev[maxnum]; // 記錄當前點的前一個結點
int c[maxnum][maxnum]; // 記錄圖的兩點間路徑長度
int n, line; // 圖的結點數和路徑數
// 輸入結點數
cin >> n;
// 輸入路徑數
cin >> line;
int p, q, len; // 輸入p, q兩點及其路徑長度
// 初始化c[][]為maxint
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
c[i][j] = maxint;
for(i=1; i<=line; ++i)
{
cin >> p >> q >> len;
if(len < c[p][q]) // 有重邊
{
c[p][q] = len; // p指向q
c[q][p] = len; // q指向p，這樣表示無向圖
}
}
for(i=1; i<=n; ++i)
dist[i] = maxint;
for(i=1; i<=n; ++i)
{
for(int j=1; j<=n; ++j)
printf("%8d", c[i][j]);
printf("\n");
}
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
// 最短路徑長度
cout << "源點到最后一個頂點的最短路徑長度: " << dist[n] << endl;
// 路徑
cout << "源點到最后一個頂點的路徑為: ";
searchPath(prev, 1, n);
return 0;
}
/*
輸入數據:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
輸出數據:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源點到最后一個頂點的最短路徑長度: 60
源點到最后一個頂點的路徑為: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
最短路
Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 13799 Accepted Submission(s): 5874
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<iomanip> using namespace std; #define N 10000 #define MAX 100000099 int a[N][N]; int dist[N]; void input (int n,int m) { int p,q,len,i,j; for( i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) a[i][j]=MAX; dist[i]=MAX; } for(i=0;i<m;i++) { cin>>p>>q>>len; if(len<a[p][q]) { a[p][q]=len; a[q][p]=len; } } } void dijkstra(int n) { int s[N],newdist; for(int i=1;i<=n;i++) { dist[i]=a[1][i]; s[i]=0; } dist[1]=0; s[1]=1; for(i=2;i<=n;i++) { int j,tem=MAX; int u=1; for(j=2;j<=n;j++) if(!s[j]&&dist[j]<tem) { u=j; tem=dist[j]; } s[u]=1; for(j=2;j<=n;j++) { if(!s[j]&&a[u][j]<MAX) { newdist=dist[u]+a[u][j]; if(newdist<dist[j]) dist[j]=newdist; } } } } int main() { int n,m; while(scanf("%d%d",&n,&m),m||n) { input(n,m); dijkstra(n); cout<<dist[n]<<endl; } return 0; }
//又撿回來了 #include <iostream> #include<string.h> using namespace std; const int Nmax = 104; int a[Nmax][Nmax]; bool visit[Nmax]; int prev[Nmax]; int n; void dijkstra(int v)//不需要打印路徑的dijkstra { int cnt=n-1,j,mindis,minid; memset(visit,0,sizeof(visit)/sizeof(bool)); for(j=1; j<=n; j++) { if(a[v][j]==INT_MAX||v==j) prev[j]=0; //路徑打印停止的標志 else prev[j]=v; } visit[v]=1; while(cnt--) //n-1次就可以將所有定點加入S中 { //找到距離v點最近的點k mindis=INT_MAX; for(j=1; j<=n; j++) { if(!visit[j]&&a[v][j]<mindis) { mindis=a[v][j]; minid=j; } } visit[minid]=1; //更新集合U中的點 for(j=1; j<=n; j++) { //a[v][minid]+a[minid][j]<a[v][j]會溢出尼瑪！！裝逼失敗早知道不用INT_MAX if(!visit[j]&&a[v][minid]<INT_MAX&&a[minid][j]<INT_MAX&&a[v][minid]+a[minid][j]<a[v][j]) { a[v][j]=a[v][minid]+a[minid][j]; prev[j]=minid; } } } } void printPath(int u) { int path[Nmax]; int tmp=u; while(tmp) { path[prev[tmp]]=tmp; tmp=prev[tmp]; } while(tmp!=u) { cout<<path[tmp]; tmp=path[tmp]; if(tmp!=u) cout<<"->"; } cout<<endl; }int main() { int i,j,w,m; while(cin>>n>>m,n||m) { for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) { if(i==j) a[i][j]=0; else a[i][j]=INT_MAX; } while(m--) { cin>>i>>j>>w; //a[i][j]=w<a[i][j]?w:a[i][j];有向圖重邊考慮 a[i][j]=a[j][i]=w<a[i][j]?w:a[i][j];//無向圖重邊考慮 } dijkstra(1); cout<<a[1][n]<<endl; //printPath(n); } return 0; }