上承這篇博文，下面我們來介紹一些准素分解的應用和幾何意義。
1、Krull交定理
一個著名的應用就是Krull交定理。
Krull交定理 對於Noether環$R$，理想$\mathfrak{a}$，令$\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{a}^n$，那么$$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\mathfrak{a}^{\infty}$$作為推論存在$x\in \mathfrak{a}$使得$(1+x)\mathfrak{a}^{\infty}=0$。
證明 首先，顯然有$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{a}^{\infty}$。為了看到反面，考慮$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}$的准素分解$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap \mathfrak{q}_i$，其中$\mathfrak{q}_i$是$\mathfrak{p}_i$-准素的，我們要證明$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。
- 當$\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}_i$時，那么因為$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$以及Noether性$\mathfrak{a}^n\subseteq \mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$，這樣$\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$。
- 當$\mathfrak{a}\setminus \mathfrak{p}_i\neq \varnothing$時，任取其中元素$x$，那么$x \mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{a}\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$，此時$x\notin \mathfrak{p}_i$，根據准素理想的刻畫，$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。
關於后者則是自然推論，因為可以選取$\mathfrak{a}^{\infty}$的有限的生成元得到一個$\mathfrak{a}$組成矩陣$A$在其上作用如同單位陣，從而$\det(A-I)\in 1+\mathfrak{a}$在$\mathfrak{a}^\infty$上的作用為$0$。$\square$
推論 對於Noether環$R$，$\mathfrak{r}=\operatorname{rad} R$是Jacobson根基（即素理想的交），那么$\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{r}^n=0$。$\square$
一個最為顯著的應用就是證明光滑函數環不是Noether環，例如取$\mathbb{R}$上$0$的光滑函數芽$\mathscr{C}_0^\infty$，那么唯一的極大理想正是那些在$0$處取$0$的函數，而極大理想的$n$次方是知道$n-1$階導數在$0$都取$0$的函數，那么他們的交是各階導數在$0$都取$0$的函數，這樣的非零函數很多。
Krull交還有一個基於Hilbert基的證明，可見Milne的講義 Theorem 1.8。
2、離散賦值環
離散賦值環是一類非常簡單的環。
定義 如果在域$K$上有一個賦值$\nu: K\to \mathbb{Z}_{\geq 0}\cup \{\infty\}$滿足
- $\nu(0)=\infty$
- $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
- $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$
其中關於$\infty$的運算約定俗成。稱$\nu$為$K$的一個離散賦值。
定義 一個整環$R$被稱為離散賦值環，如果其分式域$K=\operatorname{Frac} R$上存在賦值$\nu$使得$R=\{x\in K: \nu(x)\geq 0\}$。
容易驗證, $\nu(-1)=0$，$\nu(x)=\nu(-x)$，以及$$\nu(x)\neq \nu(y)\Rightarrow \nu(x+y)= \min(\nu(x), \nu(y))$$這被俗稱為『木桶原理』。容易根據定義驗證，
- $\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)> 0\}$是$A$的極大理想。
- $A\setminus\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)=0\}$是$A$的單位。
- 以上兩點說明$A$的極大理想$\mathfrak{m}$是主理想，因為只需要取$\nu(x)=1$的任何一個元素。
- 以上兩點說明任何理想都是主理想且都形如$\mathfrak{m}^n$，因為一個理想由$\nu$在其上的取值決定。
下面有離散賦值環的一個簡單判據。
定理 令$R$是一個局部整環，極大理想為$\mathfrak{m}$，假設$\mathfrak{m}$是非零主理想，且$\bigcap \mathfrak{m}^n=0$，那么$R$是離散賦值環。
證明 假設$\mathfrak{m}=\left<t\right>$。根據條件，任何$x\in R\setminus 0$都落在某個$\mathfrak{m}^n\setminus \mathfrak{m}^{n-1}$里，這表明$x=ut^n$，其中$u$是單位。這個$n$就定為$x$的賦值$\nu(x)$，再規定$\nu(0)=\infty$，不難證明
- $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
- $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$
這自然延拓到$K=\operatorname{Frac} R$上。注意到$R$已經是局部環，可逆元當且僅當具有賦值$0$，根據延拓到$K$上的方法容易得到$R=\{x\in K:\nu(x)\geq 0\}$。$\square$
推論 令$R$是一個局部Noether整環，極大理想為$\mathfrak{m}\neq 0$，假設$\mathfrak{m}$是主理想，那么$R$是離散賦值環。
證明 根據Krull交定理的推論。$\square$
定理 令$R$是一個局部Noether整環，極大理想為$\mathfrak{m}\neq 0$，如果$R$是正則且維數為$1$，那么$R$是離散賦值環。（所謂正則即$\dim_{R/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\dim R$）
證明 任何$R$模$M$，子模$N$，根據中山引理$$M=\mathfrak{m}M+N\iff M=N$$故$$\textrm{$\{m_i\}\subseteq M$生成了$M$}\iff M=\mathfrak{m}M+m_1R+\ldots +m_rR\iff \textrm{$\{m_i\mod \mathfrak{m}M\}\subseteq M/\mathfrak{m}M$生成了$M/\mathfrak{m}M$}$$這說明了$\mathfrak{m}$是主理想。$\square$
定理 令$R$是一個局部Noether整環，極大理想為$\mathfrak{m}\neq 0$，如果$R$是正規且維數為$1$，那么$R$是離散賦值環。（所謂正規即整閉）
證明 任意取非零元$x\in \mathfrak{m}$，考慮主理想$(x)$的准素分解，因為$R$只有兩個素理想，而$0$顯然不是，這說明$(x)$是准素的，這樣根據准素分解定義，存在$y\in R$使得$\{a\in R: ya\in (x) \}=\mathfrak{m}$，此時$\frac{y}{x}\mathfrak{m}\subseteq R$，如果$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=\mathfrak{m}$，那么$y/x$整從而$y/x\in R$，這樣$\{a\in R: ya\in (x) \}=R$矛盾。所以$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=R$，取$w\in \mathfrak{m}$使得$\frac{y}{x}w=1$，這樣，$\mathfrak{m}=w\frac{y}{x}\mathfrak{m}=wR$，是主理想，命題得證。$\square$
3、Dedekind整環
熟知Dedekind整環的定義
定義 一個Dedekind整環是Noether、整閉、維數為1的交換環。
同樣熟知Dedekind整環理想的唯一分解性。這可以利用准素分解證明。
定理 對於Dedekind整環$R$, 任何理想$\mathfrak{a}$都可以唯一分解為一些素理想的乘積。
證明 利用准素分解，我們已經知道$\mathfrak{a}$是一些准素理想的交$\bigcap \mathfrak{q}_i$，且這是唯一的，因為維數確保所有素理想都是極小的。假設$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$是素理想，按照維數，他們都是極大理想。
- 我們先證明$\mathfrak{q}_i$是兩兩互素的，這樣$\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{q}_i$。因為$\mathfrak{p}_i$都是兩兩互素的，從而$\mathfrak{p}_i^n$兩兩互素的，因為Noether性，確保$\mathfrak{p}_i$有限生成，從而$\mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$，這樣$\mathfrak{q}_i$兩兩互素。
- 於是問題變成證明$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。我們先證明$R_{\mathfrak{p}_i}=R$的情形，此時$R$是離散賦值環，故自動有$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。一般情況通過局部化，注意到准素理想在局部化后的原像還是本身。
- 為了看到唯一性，只需注意到$\prod \mathfrak{p}_i^{n_i}=\bigcap \mathfrak{p}_i^{n_i}$，之后根據准素分解第二唯一性得證和離散賦值環性質。
命題得證. $\square$
直接的證明可以看我寫的代數數論里Van der Waerden的證明。
4、Noether整閉環
定理 對於Noother整閉整環$R$，有$$R=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$$
證明 我們首先證明，任何主理想$aR$，$R/aR$的伴隨素理想$\mathfrak{p}$都是高度為$1$的。首先通過局部化，假設$R=R_{\mathfrak{p}}$，假設$b\in R$使得$\{x\in R: xb\in aR\}=\mathfrak{p}$，此時$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq R$，此時不能有$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}$，否則和整性矛盾。這說明$\frac{b}{a}\mathfrak{p}=R$，這說明$\mathfrak{p}$是主理想，這說明$R_{\mathfrak{p}}$是離散賦值環，從而是$\mathfrak{p}$的高度為$1$。隨后，假設$\frac{a}{b}\in \bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$，即$b\in aR_{\mathfrak{p}}$，我們要證明$b\in aR$。假設$aR=\bigcap \mathfrak{q}_i$是准素分解，我們要證明$b\in \mathfrak{q}_i$。注意到$aR_{\mathfrak{p}_i}=\mathfrak{q}_iR_{\mathfrak{p}_i}$，於是立刻得到$b\in aR_{\mathfrak{p}_i}\cap R=\mathfrak{q}_i$，命題得證。$\square$
5、最后我們指出一些准素分解的幾何意義。
首先，古典簇的幾何，並不允許我們考慮根理想意外的理想。如果統一求根，Noether分解定理斷言，任何Noether整環，根理想都可以唯一寫成有限素理想的交。
不過如果我們引入概形，我們知道，$\mathfrak{a}$對應的閉子概形和$\sqrt{\mathfrak{a}}$對應的並不相同，他們之間相差了一些『無窮小』。粗略看，根理想把Taylor展開一次項以外的部分去除了，但是一般的有可能保留一次項，例如$(x,y)$代表點$(0,0)$，一個多項式$f$模去$(x,y)$剩余$f(0)$，而$(x^2,y)$則還代表一個關於$x$的『無窮小鄰域』，一個多項式$f$模去$(x^2,y)$剩余$f(0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0)x$。這樣准素分解幾何意義也就明確了，准素分解實際上是一種『帶微分』的Noether分解定理。
最后我們指出關於Noether整閉環的幾何意義。毫無疑問，因為有離散賦值環這一概念，Noether整閉環$R$上高度為$1$的素理想很好把握，他們和$\operatorname{Frac} R$上的離散賦值是一一對應的。我們將其收集起來，任意一個$f\in R$，都定義了一個賦值，這樣可以作出一個商群，這可以類比Dedekind整環類群的概念。更准確地說，我們定義$\operatorname{Div} R$為那些以高度為$1$的素理想$\mathfrak{p}$生成的自由Abel群，每一個$\mathfrak{p}$都對應一個賦值，$\nu_{\mathfrak{p}}$，那么任何一個$f\in R$都定義了一個$\sum_{\mathfrak{p}}\nu_{\mathfrak{p}}(f)$，這根據上面的過程，這是有限和，且賦值都是正的。這樣類似復變函數，我們可以談論一個$f\in \operatorname{Frac} R$在$\mathfrak{p}$的零點重數或極點重數，上述定理說明$f$如果沒有極點，那么就落在$R$中，換言之，$R$類比於全純函數環，$\operatorname{Frac} R$類比亞純函數域。
