SG函數和SG定理【詳解】

在介紹SG函數和SG定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.

必勝點和必敗點的概念：

        P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。

        N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。

必勝點和必敗點的性質：

        1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）

        2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。

        3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。

我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以 hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例：

當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了

當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點

當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點

當 n = 3 時，要么就是剩一張要么剩兩張，無論怎么取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。

以此類推，最后你就可以得到；

      n    ：   0    1    2    3    4   5    6 ...

position：  P    N   N    P   N   N   P ...

你發現了什么沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。

現在給你一個稍微復雜一點點的：  hdu 2147 kiki's game

        現在我們就來介紹今天的主角吧。組合游戲的和通常是很復雜的，但是有一種新工具，可以使組合問題變得簡單————SG函數和SG定理。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：

        游戲和的SG函數等於各個游戲SG函數的Nim和。這樣就可以將每一個子游戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戲中的直接應用，因為單堆的Nim游戲 SG函數滿足 SG(x) = x。對博弈不是很清楚的請參照http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html進行進一步理解。

SG函數：

        首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后繼狀態的SG函數值的集合。如 x 有三個后繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函數的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。

【實例】取石子問題

有1堆n個的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }個石子，先取完石子者勝利，那么各個數的SG值為多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 時，可以取走1 - f{1}個石子，剩余{0}個，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 時，可以取走2 - f{1}個石子，剩余{1}個，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 時，可以取走3 - f{1,3}個石子，剩余{2,0}個，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 時，可以取走4-  f{1,3,4}個石子，剩余{3,1,0}個，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 時，可以取走5 - f{1,3,4}個石子，剩余{4,2,1}個，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此類推.....

   x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述實例我們就可以得到SG函數值求解步驟，那么計算1~n的SG函數值步驟如下：

1、使用 數組f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。

2、然后我們使用 另一個數組 將當前狀態x 的后繼狀態標記。

3、最后模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜索 未被標記值 的最小值，將其賦值給SG(x)。

4、我們不斷的重復 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函數值。

代碼實現如下：

 

//f[N]:可改變當前狀態的方式，N為方式的種類，f[N]要在getSG之前先預處理
//SG[]:0~n的SG函數值
//S[]:為x后繼狀態的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void  getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    //因為SG[0]始終等於0，所以i從1開始
    for(i = 1; i <= n; i++){
        //每一次都要將上一狀態 的 后繼集合 重置
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;  //將后繼狀態的SG函數值進行標記
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查詢當前后繼狀態SG值中最小的非零值
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}

 

現在我們來一個實戰演練（題目鏈接）：

       只要按照上面的思路，解決這個就是分分鍾的問題。

代碼如下：

 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXN 1000 + 10
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    for(i = 1; i <= n; i++){
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;
        for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}
int main(){
    int n,m,k;
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 16; i++)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    getSG(1000);
    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
        if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
        else printf("Nacci\n");
    }
    return 0;
}

 

大家是不是還沒有過癮，那我就在給大家附上一些組合博弈的題目：

POJ 2234 Matches Game
HOJ 4388 Stone Game II
POJ 2975 Nim
HOJ 1367 A Stone Game
POJ 2505 A multiplication game
ZJU 3057 beans game
POJ 1067 取石子游戲
POJ 2484 A Funny Game
POJ 2425 A Chess Game
POJ 2960 S-Nim
POJ 1704 Georgia and Bob
POJ 1740 A New Stone Game
POJ 2068 Nim
POJ 3480 John
POJ 2348 Euclid's Game
HOJ 2645 WNim
POJ 3710 Christmas Game 
POJ 3533 Light Switching Game

最后在這里謝謝學姐，大家都去支持她哦（學姐最好了）

Angel_Kitty