首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Grundy函數g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后繼 },這里的g（x）即sg[x]
例如：取石子問題，有1堆n個的石子，每次只能取{1，3,4}個石子，先取完石子者勝利，那么各個數的SG值為多少？
sg[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1時，可以取走1-f{1}個石子，剩余{0}個，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;
x=2時，可以取走2-f{1}個石子，剩余{1}個，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；
x=3時，可以取走3-f{1,3}個石子，剩余{2,0}個，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;
x=4時，可以取走4-f{1,3,4}個石子，剩余{3,1,0}個，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5時，可以取走5-f{1,3,4}個石子，剩余{4,2,1}個，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；
以此類推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
計算從1-n范圍內的SG值。
f(存儲可以走的步數，f[0]表示可以有多少種走法)
f[]需要從小到大排序
1.可選步數為1~m的連續整數，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2.可選步數為任意步，SG(x) = x;
3.可選步數為一系列不連續的數，用GetSG()計算
模板1如下（SG打表）：
1 //f[]：可以取走的石子個數 2 //sg[]:0~n的SG函數值 3 //hash[]:mex{} 4 int f[N],sg[N],hash[N]; 5 void getSG(int n) 6 { 7 int i,j; 8 memset(sg,0,sizeof(sg)); 9 for(i=1;i<=n;i++) 10 { 11 memset(hash,0,sizeof(hash)); 12 for(j=1;f[j]<=i;j++) 13 hash[sg[i-f[j]]]=1; 14 for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出現的最小的非負整數 15 { 16 if(hash[j]==0) 17 { 18 sg[i]=j; 19 break; 20 } 21 } 22 } 23 }
模板2如下（dfs）：
1 //注意 S數組要按從小到大排序 SG函數要初始化為-1 對於每個集合只需初始化1遍 2 //n是集合s的大小 S[i]是定義的特殊取法規則的數組 3 int s[110],sg[10010],n; 4 int SG_dfs(int x) 5 { 6 int i; 7 if(sg[x]!=-1) 8 return sg[x]; 9 bool vis[110]; 10 memset(vis,0,sizeof(vis)); 11 for(i=0;i<n;i++) 12 { 13 if(x>=s[i]) 14 { 15 SG_dfs(x-s[i]); 16 vis[sg[x-s[i]]]=1; 17 } 18 } 19 int e; 20 for(i=0;;i++) 21 if(!vis[i]) 22 { 23 e=i; 24 break; 25 } 26 return sg[x]=e; 27 }
hdu 1848
題意：取石子問題，一共有3堆石子，每次只能取斐波那契數個石子，先取完石子者勝利，問先手勝還是后手勝
- 可選步數為一系列不連續的數，用GetSG(計算)
- 最終結果是所有SG值異或的結果
AC代碼如下：
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define N 1001 4 //f[]：可以取走的石子個數 5 //sg[]:0~n的SG函數值 6 //hash[]:mex{} 7 int f[N],sg[N],hash[N]; 8 void getSG(int n) 9 { 10 int i,j; 11 memset(sg,0,sizeof(sg)); 12 for(i=1;i<=n;i++) 13 { 14 memset(hash,0,sizeof(hash)); 15 for(j=1;f[j]<=i;j++) 16 hash[sg[i-f[j]]]=1; 17 for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出現的最小的非負整數 18 { 19 if(hash[j]==0) 20 { 21 sg[i]=j; 22 break; 23 } 24 } 25 } 26 } 27 int main() 28 { 29 int i,m,n,p; 30 f[0]=f[1]=1; 31 for(i=2;i<=16;i++) 32 f[i]=f[i-1]+f[i-2]; 33 getSG(1000); 34 while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p)!=EOF) 35 { 36 if(m==0&&n==0&&p==0) 37 break; 38 if((sg[m]^sg[n]^sg[p])==0) 39 printf("Nacci\n"); 40 else 41 printf("Fibo\n"); 42 } 43 return 0; 44 }
hdu 1536
題意：首先輸入K 表示一個集合的大小 之后輸入集合 表示對於這對石子只能去這個集合中的元素的個數
之后輸入 一個m 表示接下來對於這個集合要進行m次詢問
之后m行 每行輸入一個n 表示有n個堆 每堆有n1個石子 問這一行所表示的狀態是贏還是輸 如果贏輸入W否則L
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 //注意 S數組要按從小到大排序 SG函數要初始化為-1 對於每個集合只需初始化1遍 6 //n是集合s的大小 S[i]是定義的特殊取法規則的數組 7 int s[110],sg[10010],n; 8 int SG_dfs(int x) 9 { 10 int i; 11 if(sg[x]!=-1) 12 return sg[x]; 13 bool vis[110]; 14 memset(vis,0,sizeof(vis)); 15 for(i=0;i<n;i++) 16 { 17 if(x>=s[i]) 18 { 19 SG_dfs(x-s[i]); 20 vis[sg[x-s[i]]]=1; 21 } 22 } 23 int e; 24 for(i=0;;i++) 25 if(!vis[i]) 26 { 27 e=i; 28 break; 29 } 30 return sg[x]=e; 31 } 32 int main() 33 { 34 int i,m,t,num; 35 while(scanf("%d",&n)&&n) 36 { 37 for(i=0;i<n;i++) 38 scanf("%d",&s[i]); 39 memset(sg,-1,sizeof(sg)); 40 sort(s,s+n); 41 scanf("%d",&m); 42 while(m--) 43 { 44 scanf("%d",&t); 45 int ans=0; 46 while(t--) 47 { 48 scanf("%d",&num); 49 ans^=SG_dfs(num); 50 } 51 if(ans==0) 52 printf("L"); 53 else 54 printf("W"); 55 } 56 printf("\n"); 57 } 58 return 0; 59 }