LR(0)分析法

一、基本概念

拓廣文法：

對於文法 G = (VN, VT, P , S ) , 增加如下產生式：S’->S ，其中， S’ ∈ VN∪ VT ，得到 G 的拓廣文法，G’ = (VN ’, VT, P ’ , S’ )

其實就是增加了一條右部為開始符號的產生式，就變成了拓廣文法
可歸前綴：

采取歸約過程前符號棧中的內容，稱做可歸前綴。
這種前綴包含句柄且不包含句柄之后的任何符號；
活前綴

對於文法 G = (VN, VT, P , S ) , 設 S’ 是其拓廣文法的開始符號（即有產生式 S’-> S），且α,β∈(VN∪VT)* , ω∈VT*。
若 S’ =*=>α A ω 且 A ->β，即 β 為句柄，則 αβ 的任何前綴 γ 都是文法 G 的活前綴。
注：由於 S’ =*=>S’ 且 S’ -> S，故 S 是 G 的活前綴。

也就是說可歸前綴的所有前綴（包括可歸前綴）都是活前綴。

例：文法 G[S] :
（1） S -> AB
（2） A -> aA
（3） A -> ε
（4） B -> b
（5） B -> bB
句子 aaab 是一個句型，其唯一的句柄為：ε （aaaεb）；活前綴有：ε，a，aa，aaa。

當前分析了的部分（符號棧中的符號）為規范句型的活前綴，表示當前分析了的部分是某規范句型的正確部分。
LR(0)項目 :

在文法G中每個產生式的右部適當位置添加一個圓點構成項目。

每個項目的含義是：欲用改產生式歸約時，圓點前面的部分為已經識別了的句柄部分，圓點后面的部分為期望的后綴部分。

分類：

移進項目: 形如 A -> α• aβ，對應移進狀態，把a移進符號棧。
待約項目: 形如 A -> α • Bβ，對應待約狀態，需要等待分析完非終結符B的串再繼續分析A的右部。
歸約項目: 形如 A -> α •，句柄已形成，可以歸約。
接受項目: 形如 S’ -> S •。
初始項目: 形如 S’ -> • S。
其中a∈VT , α,β∈(VN∪VT)*， A,B∈VT
后繼項目: 表示同屬於一個產生式的項目，但是圓點的位置僅相差一個文法符號，則稱后者為前者的后繼項目。

例：對於產生式S -> aAcBe，它有6個項目：
S -> ·aAcBe
S -> a·AcBe
S -> aA·cBe
S -> aAc·Be
S -> aAcB·e
S -> aAcBe·

二、LR(0) 有限狀態機的構造方法

1.用閉包函數（CLOSURE）來求DFA一個狀態的項目集：

CLOSURE(I)是這樣定義的：
首先I的項目都屬於CLOSURE(I)；
如果A->α• Bβ,則左部為B的每個產生式中的形如B->·γ項目，也屬於CLOSURE(I)；

例子：已知文法G[E]如下:
(1) E -> E+T
(2) E -> T
(3) T ->( E )
(4) T -> d

可以直到它的拓廣文法G’ [E’]為：
(0) E’ -> E
(1) E -> E+T
(2) E -> T
(3) T -> ( E )
(4) T -> d

令I0 = CLOSURE({E’->.E})

則I0 = {
E’ -> • E，
E -> • E+T，
E -> • T，
T -> •( E ),
T -> • d
}

2.LR(0) FSM 的狀態轉移函數

GO (I,X) = CLOSURE(J)
其中，I為LR(0) FSM 的狀態（閉包的項目集），X為文法符號， J={ A -> αX•β | A -> α• Xβ∈I} ；
表示對於一個狀態項目集中的一個項目A -> α• Xβ，在下一個輸入字符是X的情況下，一定到另一個新狀態 A -> αX•β。

3.LR(0) 有限狀態機的構造

從 LR(0) FSM 的初態出發，先求出初態項目集的閉包（CLOSURE({S’->.S})），然后應用上述轉移函數，通過項目分析每種輸入字符下的狀態轉移，若為新狀態，則就求出新狀態下的項目集的閉包，級可逐步構造出完整的 LR(0) FSM。

LR(0) FSM 的構造舉例
給定文法G[E]：
(1) E -> E+T
(2) E -> T
(3) T -> ( E )
(4) T -> d

構造LR(0) FSM
① G[E]的拓廣文法，得到G’ [E’]：
(0) E’ -> E
(1) E -> E+T
(2) E -> T
(3) T -> ( E )
(4) T -> d

②構造G’[E’] 的 LR(0) FSM

LR(0) FSM

三、LR(0) 分析法

1.LR(0) 文法定義

文法 G 是 LR(0) 文法，當且僅當它的LR(0)FSM中的每個狀態都滿足：
①不同時含有移進項目和歸約項目，即不存在移進-歸約沖突。
②不含有兩個以上歸約項目，即不存在歸約-歸約沖突。

2.LR(0)分析表的構造

ACTION 表項和 GOTO表項可按如下方法構造：

若項目A ->α • aβ屬於 Ik 且 GO (Ik, a)= Ij, 期望字符a 為終結符，則置ACTION[k, a] =sj (j表示新狀態Ij);
若項目A ->α • Aβ屬於 Ik，且GO (Ik, A)= Ij,期望字符 A為非終結符，則置GOTO(k, A)=j (j表示文法中第j個產生式);
若項目A ->α •屬於Ik, 那么對任何終結符a, 置ACTION[k, a]=rj；其中，假定A->α為文法G 的第j個產生式；
若項目S’ ->S • 屬於Ik, 則置ACTION[k, #]為“acc”;
分析表中凡不能用上述規則填入信息的空白格均置上“出錯標志”

翻譯一下：
1. 如果圓點不在項目k最后且圓點后的期待字符a為終結符，則ACTION[k, a] =sj (j表示新狀態Ij)；
2. 如果圓點不在項目k最后且圓點后的期待字符A為非終結符，則GOTO(k, A)=j (j表示文法中第j個產生式)；
3. 如果圓點在項目k最后且k不是S’ ->S，那么對所有終結符a，ACTION[k, a]=rj (j表示文法中第j個產生式)；
4. 如果圓點在項目k最后且k是S’ ->S，則ACTION[k, #]為“acc”;

例子：

考慮文法G[S] :
S → （S） | a
相應的LR(0) FSM如下，構造其LR(0)分析表。

LR(0) FSM

從I0看，S‘->·S,期望字符是非終結符S，根據上面的規則2，得到GOTO(0,S)=1；
S‘->·(S),期望字符是終結符(，根據上面的規則1，得到ACTION(0,()=S2；
從I3看，S->a·，根據規則3，置ACTION[3, a]為r2;
從I1看，S‘->S·，根據規則4，置ACTION[1, #]為“acc”;

LR(0)分析表