層次分析法
介紹
層次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美國運籌學家、
匹茲堡大學教授T . L. Saaty於20世紀70年代創立的一種系統分析與決策的綜合
評價方法，是在充分研究了人類思維過程的基礎上提出來的，它較合理地解
決了定性問題定量化的處理過程。
AHP的主要特點是通過建立遞階層次結構，把人類的判斷轉化到若干因
素兩兩之間重要度的比較上，從而把難於量化的定性判斷轉化為可操作的重
要度的比較上面。在許多情況下，決策者可以直接使用AHP進行決策，極大
地提高了決策的有效性、可靠性和可行性，但其本質是一種思維方式，它把
復雜問題分解成多個組成因素，又將這些因素按支配關系分別形成遞階層次
結構，通過兩兩比較的方法確定決策方案相對重要度的總排序。整個過程體
現了人類決策思維的基本特征，即分解、判斷、綜合，克服了其他方法回避
決策者主觀判斷的缺點。
評價類問題
解決評價類問題，大家首先要想到以下三個問題：
① 我們評價的目標是什么？
② 我們為了達到這個目標有哪幾種可選的方案？
③ 評價的准則或者說指標是什么？（我們根據什么東西來評價好壞）
分而治之的思想
分而治之：我們先來確定指標的權重吧~
問題：
一次性考慮這五個指標之間的關系，往往考慮不周。
解決方法：
兩個兩個指標進行比較，最終根據兩兩比較的結果來推算出權重。
填寫判斷矩陣
一致矩陣的例子
各行（各列）之間成倍數關系
若矩陣中每個元素𝑎ij > 0且滿足𝑎ij x 𝑎ji = 1 ，則我們稱該矩陣為正互反矩陣。
在層次分析法中，我們構造的判斷矩陣均是正互反矩陣。
若正互反矩陣滿足𝑎ij x 𝑎jk = 𝑎ik，則我們稱其為一致矩陣。
注意：在使用判斷矩陣求權重之前，必須對其進行一致性檢驗。
當一致性>0.1時，可以對應一致矩陣進行調整
一致性檢驗的步驟
特征值法求權重
假如我們的判斷矩陣一致性可以接受，那么我們可以仿照一致矩陣權重的求法。
第一步：求出矩陣A的最大特征值以及其對應的特征向量
第二步：對求出的特征向量進行歸一化即可得到我們的權重
然后求出方案層對准則層的權重，匯總
2008年國賽實例
三種解法代碼
%% 注意：在論文寫作中，應該先對判斷矩陣進行一致性檢驗，然后再計算權重，因為只有判斷矩陣通過了一致性檢驗，其權重才是有意義的。
%% 在下面的代碼中，我們先計算了權重，然后再進行了一致性檢驗，這是為了順應計算過程，事實上在邏輯上是說不過去的。
%% 因此大家自己寫論文中如果用到了層次分析法，一定要先對判斷矩陣進行一致性檢驗。
%% 而且要說明的是，只有非一致矩陣的判斷矩陣才需要進行一致性檢驗。
%% 如果你的判斷矩陣本身就是一個一致矩陣，那么就沒有必要進行一致性檢驗。
disp('請輸入判斷矩陣A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);
% % % % % % % % % % % % %方法1： 算術平均法求權重% % % % % % % % % % % % %
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Stand_A = A ./ SUM_A;
disp('算術平均法求權重的結果為：');
disp(sum(Stand_A,2)./n)
% % % % % % % % % % % % %方法2： 幾何平均法求權重% % % % % % % % % % % % %
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('幾何平均法求權重的結果為：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求權重% % % % % % % % % % % % %
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求權重的結果為：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% % % % % % % % % % % % %下面是計算一致性比例CR的環節% % % % % % % % % % % % %
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，這里的RI最多支持 n = 15
% 這里n=2時，一定是一致矩陣，所以CI = 0，我們為了避免分母為0，將這里的第二個元素改為了很接近0的正數
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指標CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因為CR<0.10，所以該判斷矩陣A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此該判斷矩陣A需要進行修改!');
end
% % 注意：代碼文件僅供參考，一定不要直接用於自己的數模論文中
% % 國賽對於論文的查重要求非常嚴格，代碼雷同也算作抄襲
CR >0.1如何修正
往一致矩陣上調整，一致矩陣各行成倍數關系。
其他例子
