計算機算法設計與分析之遞歸與分治策略——二分搜索

遞歸與分治策略

二分搜索

　　我們所熟知的二分搜索算法是運用分治策略的典型例子，針對這個算法，先給出一個簡單的案例。

　　目的：給定已排好序的n個元素a[0:n-1]，現要在這n個元素中找出一特定的元素x。

　　我們首先想到的最簡單的是用順序搜索方法，逐個比較a[0:n-1]中元素，直至找出元素x或搜索遍整個數組后確定x不在其中。這個方法沒有很好地利用n個元素已排好序的這個條件，因此在最壞的情況下，順序搜索方法需要O(n)次比較。

　　而二分搜索方法充分利用了元素間的次序關系，采用分治策略，可在最壞情況下用O(logn)時間完成搜索任務。二分搜索算法的基本思想是，將n個元素分成個數大致相同的兩半，取a[n/2]與x作比較。如果x=a[n/2]，則找到x，算法終止；如果x<a[a/2]，則只在數組a的左半部繼續搜索x；如果x>a[a/2]，則只在數組a的右半部繼續搜索x。具體算法可描述如下：

template<class Type>
int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int n){
    //在a[0]<=a[1]<=...<=a[n-1]中搜索x
    //找到x時返回其在數組中的位置，否則返回-1
    int left = 0;
    int right = n-1;
    while (left <= right){
        int middle = (left+right)/2;
        if (x == a[middle])
            return middle;
        if (x > a[middle])
            left = middle+1;
        else
            right = middle-1;
    }
    return-1;    //未找到x
}