雅克比迭代，一般用來對線性方程組，進行求解。形如：
\(a_{11}*x_{1} + a_{12}*x_{2} + a_{13}*x_{3} = b_{1}\)
\(a_{21}*x_{1} + a_{22}*x_{2} + a_{23}*x_{3} = b_{2}\)
\(a_{31}*x_{1} + a_{32}*x_{2} + a_{33}*x_{3} = b_{3}\)
我們需要求解出\(x_{1}\) ，\(x_{２}\) ，\(x_{３}\)，我們對這組方程進行變換：
\(x_{1}=\frac{１}{a_{１1}}(b_{１} -a_{１2}*x_{２} -a_{１3}*x_{3})\)
\(x_{２}=\frac{１}{a_{21}}(b_{2} -a_{2１}*x_{１} -a_{23}*x_{3})\)
\(x_{３}=\frac{１}{a_{３1}}(b_{３} -a_{３１}*x_{１}-a_{３２}*x_{２})\)
我們不妨假設 \(x_{0}^{0}=(X_{1}^{0},X_{2}^{0},X_{3}^{0})\) ,當我們代入上述公式的時候，我們就會得到一組新的 \(x_{0}^{1}=(X_{1}^{1},X_{2}^{1},X_{3}^{1})\) ,此刻我們稱之為一次迭代.
然后我們將得到的X1,X2,X3再次代入公式，我們將會得到第二次迭代, 當我們重復這種迭代的時候，我們會得到第K次迭代：
\(x^{k}=(X_{1}^{k},X_{2}^{k},X_{3}^{k})\) , \(k = 1,2,3...n\)
我們將其歸納成一般式子:
eg: 對於方程組：
求解：
我們先將其變形：
然后，我們假設：
並將其代入得到：
我們將得到的X1,x2,x3再次代入方程中，反復迭代,將會得到如下：
最終我們將會得到一個收斂值，該組值，就是我們得到的解（會非常的逼近真實解）
那么這種方法，也可以用來求解矩陣:
對於方程： Ax =b ; 我們設定 A矩陣為： 
,b矩陣為： 
， x矩陣為： 
到這里，每個人都有自己的解法，直接的解法是將 x = \(A^{-1}\)b,但是A的逆矩陣\(A^{-1}\),計算較為復雜，我們這里需要一點小的tricks ,我們將A矩陣拆分成為一個對角矩陣D,下三角矩陣L,上三角矩陣U,即
這樣的話，公式 Ax = b 就變成了 ( D - L -U )x = b ,然后我們就可以得到：
Dx = b + (L+U)x ，當我們得到這個公式的時候，求解D的逆矩陣就容易了很多，我們得到D的逆矩陣為：
然后，我們將D移到右邊變成:
這個公式，和我們上面描述的雅克比迭代是不是長得很像，然后我們可以將其一般化為：
我們知道A是一個已知的常量矩陣，因而D,L,U都是已知矩陣，那么我們可以簡化為：
\(T = D^{-1}*( L +U)\) , \(c = D^{-1}*b\) ;
根據這一個思想，我們可以得到一個偽代碼：
實現代碼為: