難點總結
學生在對數運算中的難點分析：
一、不理解對數，不會用對數公式或錯用對數公式
①對數\(log_23\)和指數冪\(2^3\)一樣，也就是個實數而已，所以其也會有加減乘除乘方開方等運算；
比如\(2^{2+log_23}=2^2\cdot 2^{log_23}=4\cdot 3=12\)；
②准確記憶對數的運算公式和法則，
【相關復習】指數冪的運算[1]
\(a^b=N(指數式)\Longleftrightarrow b=log_aN(對數式)\)；
對數的性質：\(log_a1=0\)，\(log_aa=1\)；
對數的運算法則：\(log_aMN=log_aM+log_aN\)；
\(log_a\cfrac{M}{N}=log_aM-log_aN\)；\(log_aM^n=nlog_aM\)；
對數恆等式：\(a^{log_aN}=N\)；
對數換底公式：\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)
常用公式1：\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)；\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_ca= log_aa=1\)；
\(log_ab\cdot log_ba=1\)；\(lne=1\)；\(lg2+lg5=lg10=1\)；
常用公式2：\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m，n\in R，a>0，a\neq 1，b>0)\)
③正用、逆用、變用公式；
\(log_aM+log_aN=log_aMN\)；\(log_aM-log_aN=log_a\cfrac{M}{N}\)；
\(nlog_aM=log_aM^n\)；\(\cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n}\)
④錯用公式：\(log_a(M+N)=log_aM+log_aN\)；\(log_a(M\cdot N)=log_aM\cdot log_aN\)；
二、知道對數的公式和運算法則，但不會靈活運用，對公式中的字母的內涵不理解；
分析：原式\(=(lg2+lg5)(lg^22-lg2lg5+lg^25)+3lg2lg5\)
\(=lg^22-lg2lg5+lg^25+3lg2lg5\)
\(=lg^22+2lg2lg5+lg^25=(lg2+lg5)^2=1\)；
法1：原式\(=(\cfrac{1}{2}log_23+\cfrac{1}{3}log_23)(log_32+\cfrac{1}{2}log_32)\)
\(=(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3})\cdot log_23\cdot (1+\cfrac{1}{2})log_32=\cfrac{5}{4}\)
法2：原式\(=(\cfrac{1}{log_34}+\cfrac{1}{log_38})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{log_29})\)
\(=(\cfrac{1}{2log_32}+\cfrac{1}{3log_32})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{2log_23})\)
\(=\cfrac{5}{6log_32}\cdot \cfrac{3}{2log_23}=\cfrac{5}{4}\)
三、只會單獨運用單個的對數公式，不會組合應用幾個對數公式；
分析：本題目分三個步驟完成：
第一步，先計算\(5\)的指數位置的對數的真數的值，
\(lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5\)
\(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5\)
\(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2\)
這樣，原題目就轉化為\(5^{log_{25}(lg5)^2}\)；
第二步，再計算\(5\)的指數位置的對數的值，
\(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5\)；
這樣，原題目再次轉化為\(5^{log_5lg5}\)；
第三步，利用對數恆等式求值，
\(5^{log_5lg5}=lg5\)；
故\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5\)；
四、涉及指數、對數的綜合運算
①\(2^{-log_23}=2^{log_2(3^{-1})}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}\)；
②\(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)；
③\(7^{-log_7\frac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2\)；
④\(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)；
⑤\(\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\frac{1}{2}}+lg245^{\frac{1}{2}}\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)\)
\(=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)\)
\(=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7\)
\(=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5\)
\(=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}\)。
五、不懂對數運算的策略
分析：設\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x\)，兩邊同時取對數，
得到\(lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]\)，
即\(lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}\)
即\(lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)\)
即\(lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3\)
即\(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5\)
即\(lgx=lg3+lg5=lg15\)，
即\(x=15\)；
原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)
\(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)
分析：引入正數因子\(k\)，
令\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)，
則由\(2+log_2a=log_24a=k\)，
得到\(4a=2^k\)，即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)；
由\(3+log_3b=log_327b=k\)，
得到\(27b=3^k\)，即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)；
由\(log_6(a+b)=k\)，
得到\(a+b=6^k\)；
則\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)
\(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)
\(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)
\(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)
\(=2^2\cdot 3^3=108\)
六、雖然能做出對數題目，但不能理解題目的訓練意圖；
①\(lg(xyz)=lgx+lgy+lgz\)；
②\(lg(x^2y^2z^{-3})=2lgx+2lgy-3lgz\)；
③\(lg\cfrac{xy}{x^2-y^2}=lgx+lgy-lg(x+y)-lg(x-y)\)；
④\(lg[\cfrac{y}{x(x-y)}]^3=3lgy-lgx-lg(x-y)\)；
分析：要使得原方程成立，必須先滿足條件\(9^{x-1}-5>0①\)， \(3^{x-1}-2>0②\)，
在此前提下，原方程等價於\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);
即\(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)，
即\(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即\((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)，
即 \(3^{x-1}=1\)，或者\(3^{x-1}=3\)，
解\(3^{x-1}=1\)， 即\(3^{x-1}=3^0\)，解得\(x=1\)，
解\(3^{x-1}=3\)， 即\(3^{x-1}=3^1\)，解得\(x=2\)，
驗證：將\(x=1\)和\(x=2\)代入①②兩式，舍去\(x=1\)，保留\(x=2\)，
故方程的根為\(x=2\)。
七、對數學公式的內涵和作用理解不到位
①$$
② \(2^{log_23}=3\)，這樣做的目的是為了化簡；
\(3=2^{log_23}\)，這樣做的目的是常數指數化，便於求解形如\(2^x>3\)指數不等式，即\(2^x>3=2^{log_23}\)，
典例剖析
正整數指數冪：\(\underbrace{{a\times a\times \cdots\times a}}_{n個}=a^n(n\in N)\)；
負整數指數冪：\(a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}\)；\(a^0=1(a\neq 0)\)；
正分數指數冪：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)；負分數指數冪：\(a^{-\frac{m}{n}}=\cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\)；
\(\{整數\}\cup\{分數\}=\{有理數\}\)；\(\{有理數\}\cup\{無理數\}=\{實數\}\)，
指數的運算法則：(\(m，n\in R\))，注意：字母\(a、b\)的內涵；
公式：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)；\((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\)；\((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\)；
注意逆用：\(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\)；\(a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m\)；\(a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n\)；
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