完全背包問題
有\(n\)種物品，物品的體積分別為\(V_1,V_2,\dots,V_n\)，且每種物品的數量都可以看做是無限多的。現在有\(m\)次詢問，每次詢問給定一個容量為取的背包，請你回答是否存在一種物品選擇方案，使得背包恰好能被完全裝滿（僅考慮體積，忽略長、寬、高等其他因素)。同時，要求所有選出的物品中，體積不小於\(L\)的物品總數量不能超過\(C\)件。
輸入格式
第一行為兩個正整數\(n\)和\(m\)，分別表示物品的種數以及詢問的次數。
第二行為\(n\)個正整數\(V_1,V_2,\dots,V_n(V_i \le 10000)\)，分別表示這\(n\)種物品的體積。
第三行為兩個非負整數 \(L(L \le 20000 )\) 和 \(C(C\le 30)\)，表示在選擇方案中對大體積物品的數量限制。
接下來\(m\)行，每行一個正整數\(W_i\)，表示這次詢問中背包的容量。
輸出格式
輸出共\(m\)行，每行一個字符串，表示對應詢問的答案。
對於每次詢問，如果存在一種合法的方案，請輸出\(Yes\)，否則輸出\(No\)。
數據規模與約定
對於\(10\%\)的數據：\(n\le 8,W_i\le 100\)
對於\(30\%\)的數據：\(W_i\le 10000\)
對於\(60\%\)的數據：\(n\le 30,m\le 200\)
對於另外\(10\%\)的數據：\(n=2\)
對於\(100\%\)的數據：\(n\le 50,m\le 100000,W_i\le 10^{18}\)
考慮暴力
令\(dp_{i,j,k}\)表前\(i\)個物品總體積為\(k\)選擇了\(j\)件大物品的是否合法。
復雜度\(O(n\max W_i c)\)
考慮修補這個想法。設\(V_0\)為最小的體積
- 如果\(V_0\ge L\)，因為可選的物品總體積不會太大，所以考慮直接暴力，復雜度\(O(nc^2\sum V_i)\)，用\(\tt{bitset}\)
優化一下就可以過了。
- 如果\(V_0 < L\)，因為\(V_0\)可以無限選，所以我們不妨求出在同余於\(V_0\)情況下的可能，這樣就簡化了狀態。
令\(dp_{i,j,k}\)表示前\(i\)個物品選擇了\(j\)件大物品選擇的總體積同余於\(V_0\)下為\(k\)的最小總體積。
保證了最小總體積，我們就可以判斷\(W_i\)是否大於等於\(dp_{n,\forall j\le c,W_i \bmod V_0}\)來看是否合法
考慮轉移
\(dp_{i,j,k}=\min(dp_{i,j,(v_0-v_i)\bmod v_0}+v_i,dp_{i-1,j,k}),v_i < L\)
\(dp_{i,j,k}=\min(dp_{i,j-1,(v_0-v_i)\bmod v_0}+v_i,dp_{i-1,j,k}),v_i \ge L\)
發現第一個轉移有環，可以建圖解決。
源點\(S\)連接所有\(0 \sim v_0-1\)的點，邊權為\(dp_{i,j,v_0}\)，然后其他點每個點\(v\)連\((v+v_i)\bmod v_0\)，邊權為\(v_i\)，然后跑一邊最短路就可以了。
發現這個圖比較特殊，可以通過尋找性質\(O(n)\)解決。
Code:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bitset>
#define ll long long
int n,c,m,v[52],L;ll w;
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
namespace work1
{
std::bitset <1000001> dp[31];
void work()
{
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=c;j++)
dp[j]|=dp[j-1]<<v[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld",w);
int ans=0;
for(int j=0;j<=n;j++) ans|=dp[j][w];
if(ans) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
}
namespace work2
{
const int N=10010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dp[31][N],used[32][N],mi,id;
#define dec(a,b) (((a-b)%v[1]+v[1])%v[1])
#define to ((now+v[p])%v[1])
void dfs0(int p,int k,int now)
{
if(used[k][now]) return;
used[k][now]=1;
if(mi>dp[k][now]) mi=dp[k][now],id=now;
dfs0(p,k,to);
}
void dfs1(int d,int p,int k,int now,int anc)
{
if(now==anc) return;
dp[k][now]=min(dp[k][now],d+v[p]);
dfs1(dp[k][now],p,k,to,anc);
}
void topo(int p)
{
memset(used,0,sizeof(used));
for(int i=0;i<=c;i++)
for(int j=0;j<v[1];j++)
if(!used[i][j])
{
mi=inf;
dfs0(p,i,j);
dfs1(dp[i][id],p,i,(id+v[p])%v[1],id);
}
}
void work()
{
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
dp[0][0]=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i]<L) topo(i);
else
{
for(int k=0;k<=c;k++)
for(int j=0;j<v[1];j++)
dp[k][j]=min(k?dp[k-1][dec(j,v[i])]+v[i]:inf,dp[k][j]);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld",&w);
int ans=0;
for(int j=0;j<=c;j++)
if(dp[j][w%v[1]]!=inf)
ans|=dp[j][w%v[1]]<=w;
if(ans) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",v+i);
scanf("%d%d",&L,&c);
std::sort(v+1,v+1+n);
if(v[1]>=L) work1::work();
else work2::work();
return 0;
}
2018.10.30