極大容量的完全背包問題

題目大意：

就是題目名稱的意思，有n種物品，一個容量為m的背包，每種物品的體積為$ a_i $，價值為$ b_i $，有$ n<=10^6,m<=10^{18},a_i,b_i<=100 $。求最大價值。

解題方法：

因為m很大，所以我們考慮將較大的體積為S的背包分為較小的兩個背包，其中一個體積為x，則另一個S-x。

這時討論abs(x-(S-x))的范圍，可以推出其<=maxv(物品的最大體積)。因為單獨對兩個背包操作，兩邊會有余留下來的部分，將其中一個余留下來的部分補到另一個去可能會得到更憂解。但如果移動的部分大於maxv了則放在兩個背包中的任意一個都可以得到最優解。所以我們成功將枚舉區間縮小到了$ \frac{S-maxv} {2} <=x<= \frac{S+maxv} {2} $。

然后我們類似分治的套路將圖畫出來：

發現$ Max -Min < 2\times maxv $並且最底層(即$ Min>0 $的最后一層)的$ Min <= maxv,Max<=3 \times maxv $，所以我們可以預處理出$ 3\times maxv $大小的背包就可以得到最底層的解，然后我們可以記錄每層最小值$ L[i] $即最左邊的點的權值，設$ g[i][j] $表示在第i層時比$ L[i] $容量大j的背包的最優解，枚舉x逐層向上轉移即可，轉移方程：$ g[i][v-L[i]]=max(g[i+1][x-L[i+1]]+g[i+1][v-x-L[i+1]]) $。

因為一開始給了$ 10 ^ 6$種物品，然而因為最多有$ 100\times 100 $種物品，所以可以用set去重。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
ll n,m,tot;
set<int> ap[110];
ll f[MAXN],g[55][MAXN],L[55],a[MAXN],b[MAXN];
void Max(ll &a,ll b){a=(a>b? a:b);}
template <class T>void read(T &x)
{
    bool f=0;char ch=getchar();x=0;
    for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-') f=1;
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    if(f) x=-x;
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    ll maxv=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x,y;read(x);read(y);
        if(ap[x].find(y)!=ap[x].end()) continue;
        a[++tot]=x;b[tot]=y;ap[x].insert(y);
        Max(maxv,a[tot]);
    }
    ll s=m,cnt=0;
    while(s>0)
    {
        L[++cnt]=s;
        s=(s-maxv)>>1;
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    for(int v=a[i];v<=maxv*3;v++)
        Max(f[v],f[v-a[i]]+b[i]);
    for(int i=cnt;i>=1;i--)
    for(ll v=L[i];v<=L[i]+maxv*2;v++)
    {
        if(v<=maxv*3) g[i][v-L[i]]=f[v];
        else
        {
            for(ll x=(v-maxv)>>1;x<=v>>1;x++)
            Max(g[i][v-L[i]],g[i+1][x-L[i+1]]+g[i+1][v-x-L[i+1]]);
        }
    }
    printf("%lld",g[1][0]);
    return 0;
}