LCA問題有多種求法，例如倍增，Tarjan。
本篇博文講解如何使用Tarjan求LCA。
如果你還不知道什么是LCA，沒關系，本文會詳細解釋。
在本文中，因為我懶為方便理解，使用二叉樹進行示范。
LCA是什么，能吃嗎?
LCA是樹上最近公共祖先問題。
最近公共祖先就是樹上有兩個結點，找一個結點，是他們的公共祖先，並且離他們兩個結點最近。
例如這是一棵樹：
樹上 4,7 兩個結點的 LCA 就是 2 了。
1 雖然也是他們的公共祖先，但並不是最近的。
再舉個例子，8,5 的祖先是 5。8,6 的祖先是 1。
怎么求LCA問題？
在開頭已經說過了，LCA 問題有多種求法。本文要介紹的是相對簡單的 Tarjan 求 LCA。
注意：Tarjan 求 LCA 是一種離線的算法，也就是說它一遍求出所有需要求的點的 LCA，而不是需要求哪兩個點再去求。
在開始介紹前的補充
Tarjan 求 LCA 需要用到並查集，以下是本人使用的並查集模板。
int fa[100000];
void reset(){
for (int i=1;i<=100000;i++){
fa[i]=i;
}
}
int getfa(int x){
return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]);
}
void marge(int x,int y){
fa[getfa(y)]=getfa(x);
}
由於 Tarjan 是在遍歷到目標點的時候得出答案並輸出，那么如果你不輸出,就需要使用一些東西來記錄它（一般不用）。
關於記錄
除非你之后需要 LCA 的結果再做一些操作，否則不需要記錄，直接在 DFS 中輸出即可。
我使用的是 STL 中的 Map 和 Pair，因為 LCA 是求兩個點，Pair 正好可以滿足一對數據。而 Map 的哈希機制可以實現 O(1) 查找。
Tarjan 求 LCA 做法
總體思想
遍歷每一個結點並使用並查集記錄父子關系。
Tarjan 是一種 DFS 的思想。我們需要從根結點去遍歷這棵樹。
當遍歷到某一個結點(稱之為 x) 時，你有以下幾點需要做的。
1將當前結點標記為已經訪問。
2遞歸遍歷所有它的子節點(稱之為 y)，並在遞歸執行完后用並查集合並 x 和 y。
3遍歷與當前節點有查詢關系的結點(稱之為 z)(即是需要查詢 LCA 的另一些結點)，如果 z 已經訪問，那么 x 與 z 的 LCA 就是 $getfa(z)$(這個是並查集中的查找函數)，輸出或者記錄下來就可以了。
這是偽代碼
void tarjan(int x){
//在本代碼段中，s[i]為第i個子節點 , t[i]為第i個和當前節點有查詢關系的結點。
vis[x]=1;//標記已經訪問，vis是記錄是否已訪問的數組
for (i=1;i<=子節點數;i++){//枚舉子節點 (遞歸並合並)
tarjan(s[i]);
marge(x,s[i]);//並查集合並
}
for (i=1;i<=有查詢關系的結點數;i++){
if (vis[t[i]]){
cout<<x<<"和"<<t[i]<<"的LCA是"<<getfa(t[i])<<endl;//如果t[i]已經訪問了輸出(getfa是並查集查找函數)
}
}
}
核心代碼就這么一點？對，就這么一點。
如果你還不理解，那么可以跳轉到最后一章看圖解演示。
一些重要的細節
為了接下來的講解，下面我們明確一下讀入方式，不同的讀入方式可以自己變通一下。
第一行兩個數 n 和 q，表示結點數和查詢數。
接下來 n 行每行兩個數，表示左子結點和右子結點編號，如沒有則是 -1。
接下來 q 行每行兩個數，表示查詢的兩個結點編號。
例如上圖的樹，讀入為
9 5 2 3 4 5 -1 6 -1 -1 7 8 -1 9 -1 -1 -1 -1 -1 -1 5 4 7 4 7 8 9 3 8 6
如何存儲查詢關系
我在這里用的方法是二維數組。
int t[100000][10],top[100000]; //t[i][j]表示編號為i的結點，第j個和它有查詢關系的點的編號 //top[i]表示編號為i的結點與它有查詢關系的點的數量
注意：需要雙向存儲關系。例如結點 2 和 3，不僅要更新t[2]，還要更新t[3]。
讀入代碼長這樣：
for (int i=1;i<=q;i++){
cin>>a[i]>>b[i];
t[a[i]][++top[a[i]]]=b[i];
t[b[i]][++top[b[i]]]=a[i];
}
當然如果你想要優化下空間那么把這個數組變成vector也是沒問題的。
這就沒了...
代碼
直接輸出的寫法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,q,v[100000];
map<pair<int,int>,int> ans;//存答案
int t[100000][10],top[100000];//存儲查詢關系
struct node{
int l,r;
};
node s[100000];
/*並查集*/
int fa[100000];
void reset(){
for (int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
}
int getfa(int x){
return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]);
}
void marge(int x,int y){
fa[getfa(y)]=getfa(x);
}
/*------*/
void tarjan(int x){
v[x]=1;//標記已訪問
node p=s[x];//獲取當前結點結構體
if (p.l!=-1){
tarjan(p.l);
marge(x,p.l);
}
if (p.r!=-1){
tarjan(p.r);
marge(x,p.r);
}//分別對l和r結點進行操作
for (int i=1;i<=top[x];i++){
if (v[t[x][i]]){
cout<<getfa(t[x][i])<<endl;
}//輸出
}
}
int main(){
cin>>n>>q;
for (int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i].l>>s[i].r;
}
for (int i=1;i<=q;i++){
int a,b;
cin>>a>>b;
t[a][++top[a]]=b;//存儲查詢關系
t[b][++top[b]]=a;
}
reset();//初始化並查集
tarjan(1);//tarjan 求 LCA
}
先記錄而不輸出的寫法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,q,v[100000];
map<pair<int,int>,int> ans;//存答案
int t[100000][10],top[100000];//存儲查詢關系
int a[100000],b[100000];
struct node{
int l,r;
};
node s[100000];
/*並查集*/
int fa[100000];
void reset(){
for (int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
}
int getfa(int x){
return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]);
}
void marge(int x,int y){
fa[getfa(y)]=getfa(x);
}
/*------*/
void tarjan(int x){
v[x]=1;
node p=s[x];
if (p.l!=-1){
tarjan(p.l);
marge(x,p.l);
}
if (p.r!=-1){
tarjan(p.r);
marge(x,p.r);
}
for (int i=1;i<=top[x];i++){
if (v[t[x][i]]){
pair<int,int> tmp,tmp1;//用pair配合map來存儲答案
tmp=make_pair(x,t[x][i]);
tmp1=make_pair(t[x][i],x);//兩個pair的目的是例如3 2這種數據如果搜到3才有答案那么進時的順序不止是(3,2)，還有(2,3)，方便輸出結果時查詢
ans[tmp]=getfa(t[x][i]);
ans[tmp1]=getfa(t[x][i]);
cout<<"#"<<ans[tmp]<<endl;
}
}
}
int main(){
cin>>n>>q;
for (int i=1;i<=n;i++){
cin>>s[i].l>>s[i].r;
}
for (int i=1;i<=q;i++){
cin>>a[i]>>b[i];
t[a[i]][++top[a[i]]]=b[i];
t[b[i]][++top[b[i]]]=a[i];
}
reset();
tarjan(1);
for (int i=1;i<=q;i++){
pair<int,int> tmp;
tmp=make_pair(b[i],a[i]);
cout<<a[i]<<"-"<<b[i]<<":"<<ans[tmp]<<endl;
}
}
算法演示
