6、【常見算法】整數拆分

如，對於正整數n=6，可以拆分為：
6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1
現在的問題是，對於給定的正整數n，程序輸出該整數的拆分種類數。
DP思路：
n = n1 + n2 + n3 + n4 + .... + nk
狀態表示：將n划分為k個數相加的組合方案數記為 q(n,k)。（相當於將n個蘋果放入k個盤子）
狀態轉移：
(1)若k>n，則盤子數大於蘋果數，至少有n-k個空盤子，可以將其拿掉，對組合方案數無影響。
q(n,k) = q(n,n)
(2)若k<=n，則盤子數小於等於蘋果數，則分為兩種情況
1.至少有一個盤子空着：q(n,k) = q(n,k-1)
2.所有盤子都不空：q(n,k) = q(n-k,k)
q(n,k) = q(n,k-1) + q(n-k,k)

//dp非遞歸的方法
#include <iostream>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int main()
{
    int n, i, j, dp[121][121];
    for(i = 1; i < 121; i++)
    {
        for(j = 1; j < 121; j++)
        {
            if(i == 1 || j == 1)
                dp[i][j] = 1;
            else if(i > j)
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
            else if(i ==j)
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1;
            else
                dp[i][j] = dp[i][i];
        }
    }
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        cout << dp[n][n] << endl;
    }
    return 0;
}