題目描述
一個整數總可以拆分為2的冪的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 總共有六種不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的種數，例如f(7)=6. 要求編寫程序，讀入n(不超過1000000)，輸出f(n)%1000000000。
輸入描述:
每組輸入包括一個整數：N(1<=N<=1000000)。
輸出描述:
對於每組數據，輸出f(n)%1000000000。
分析：
dp[i]表示f(i)
狀態轉移方程
i是奇數：dp[i]=dp[i-1]
i是偶數：dp[i]=dp[i-1]+dp[i/2] 其中dp[i-1]表示拆分有1的種數，dp[i/2]表示拆分沒有1的種數
記f(n)為n的划分數，我們有遞推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始條件：f(1) = 1。
證明:
證明的要點是考慮划分中是否有1。
記:
A(n) = n的所有划分組成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分組成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分組成的集合，
則有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又記:
f(n) = A(n)中元素的個數，
g(n) = B(n)中元素的個數，
h(n) = C(n)中元素的個數，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上記號的具體例子見文末。
我們先來證明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每個划分中至少有一個1，去掉這個1，就得到 2m 的一個划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每個划分加上個1，就構成了 2m + 1 的一個划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
綜上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我們要證明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一個，就得到 A(2m - 1) 中的一個划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一個1，就得到 B(2m) 中的一個划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
綜上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一個划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一個划分，故 f(m)≤h(2m)。
綜上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
#include "bits/stdc++.h" using namespace std; #define LL long long #define INF 0x3f3f3f3f3f #define PI acos(-1) int dp[1000001]; long f2n(long n) { for(long i=1;i<=n;i++) { if(i==1)dp[i]=1; else if(i%2)dp[i]=dp[i-1]; else dp[i]=(dp[i-1]+dp[i/2])%1000000000; } return dp[n]; } int main() { int n; while(cin>>n){ cout<<f2n(n)<<endl; } return 0; }