[學習筆記]高維前綴和

我們經常要用到前綴和。

一維：

for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=b[i-1]+a[i];

二維：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
         b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+a[i][j];

那如果是三維的呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
              b[i][j][k]=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1]
                            -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1]
                            +b[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];

其實就是一個容斥。

但是，隨着維度t變高，容斥的復雜度是2^t，總復雜度O(n^t*2^t不能承受。

 

我們還有一個方法：

一維：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    a[i]+=a[i-1];

 

二維：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i][j-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i-1][j];

這個意思就是，第一遍前綴和，每個位置a[i][j]是，i行前j個的和。

第二遍，就把前面所有行的和加過來了。

分兩遍達到目的。看似麻煩。

那三維呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i-1][j][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
        a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];

其實和二維的理解是一樣的。再來一遍，把第三維的和加過去。

 

但是，這個三維只要3次，也就是說，對於t維，其實只要O(n^t*t)復雜度就很低了。

 

其實我們實際解題中，經常用的是n=2的情況。

比如，

例題：

1.部分和（牛客網NOIP賽前集訓營-普及組（第四場））部分和

輸入一個長度為n的數組a[i]，下標從0開始（0到n-1）
保證n是2的整數次冪，
對於每個i (0 <= i < n)
求所有滿足((i & j) == j)的a[j]之和。

n<=2^20

 

即，求每個i的子集和。

如果n=2^6,如果把i的二進制的表示：10101看做一個5維坐標的話，

那么，i的子集就是這個坐標的高維前綴和。

可以發現，每個維度的n都是2，

 

這就比較好處理了。

如果是一般的：w表示最高維度：

for(int i=0;i<w;i++){
    for(int j=0;j<(1<<w);j++){
        if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<i)]; 
    }
}

理解一下，就是先處理前i-1位是子集的所有位置的和，對於第i位，前i位是子集的要么第i位是0，要么第i位是1，

第i位是0的話，權值就是f[j^(1<<i)]，（后面的維度坐標一定要一致。）

 

本題：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<21);
ll a[N];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);int p=0;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){p++;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if((j&(1<<p-1))) a[j]+=a[(j^(1<<p-1))];
        }
    }for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld\n",a[i]);return 0;
}

 

 復雜度和高維前綴和一樣；O(2^t*t)

 

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upda：2019.3.18

可以代替FWT的and和or卷積，只要"IFMT"一下（就是反着做）即可

復雜度相同，

 

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upda：2019.4.17

 

實際上

 

FMT很辣雞

 

相比之下，FWT做的事情完全包含FMT，並且常數是FMT的1/2！

 

[WC2018]州區划分（這個題我人傻常數大，必須用FWT卡常才能過）

 

所以還是寫FWT吧

 

[學習筆記]FWT——快速沃爾什變換