1 -單變量高斯分布
單變量高斯分布概率密度函數定義為：
\[p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\} \tag{1.1} \]
式中\(\mu\)為隨機變量\(x\)的期望，\(\sigma^2\)為\(x\)的方差，\(\sigma\)稱為標准差：
\[\mu=E(x)=\int_{-\infty}^\infty xp(x)dx \tag{1.2} \]
\[\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2p(x)dx \tag{1.3} \]
可以看出，該概率分布函數，由期望和方差就能完全確定。高斯分布的樣本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通過標准差來表示，其越大，分散程度也越大，且約有95%的樣本落在區間\((\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)\)
2 - 多元高斯分布
多元高斯分布的概率密度函數。多元高斯分布的概率密度函數定義：
\[p({\bf x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\} \tag{2.1} \]
其中\({\bf x}=[x_1,x_2,...,x_d]^T\)是\(d\)維的列向量；
\({\bf \mu}=[\mu_1,\mu_2,...,\mu_d]^T\)是\(d\)維均值的列向量；
\(\Sigma\)是\(d\times d\)維的協方差矩陣；
\({\Sigma}^{-1}\)是\(\Sigma\)的逆矩陣;
\(|\Sigma|\)是\(\Sigma\)的行列式；
\((\bf x-\mu)^T\)是\((\bf x-\mu)\)的轉置，且
\[\mu=E(\bf x) \tag{2.2} \]
\[\Sigma=E\{(\bf x-\bf \mu)(\bf x - \mu)^T\}\tag{2.3} \]
其中\(\mu,\Sigma\)分別是向量\(\bf x\)和矩陣\((\bf x -\mu)(\bf x -\mu)^T\)的期望，諾\(x_i\)是\(\bf x\)的第\(i\)個分量，\(\mu_i\)是\(\mu\)的第\(i\)個分量，\(\sigma_{ij}^2\)是\(\sum\)的第\(i,j\)個元素。則:
\[\mu_i=E(x_i)=\int_{-\infty}^\infty x_ip(x_i)dx_i \tag{2.4} \]
其中\(p(x_i)\)為邊緣分布：
\[p(x_i)=\int_{-\infty}^\infty\cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^\infty p({\bf x})dx_1dx_2 \cdot\cdot\cdot dx_d \tag{2.5} \]
而
\[\begin{eqnarray}\sigma_{ij}^2 &=&E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]\\ &=&\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)p(x_i,x_j)dx_idx_j \end{eqnarray} \tag{2.6}\]
不難證明，協方差矩陣總是對稱非負定矩陣，且可表示為：
\[\Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{1d}^2 \\ \sigma_{12}^2 & \sigma_{22}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{2d}^2\\ \cdot\cdot\cdot &\cdot\cdot\cdot\\ \sigma_{1d}^2 & \sigma_{2d}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{dd}^2 \end{bmatrix}\]
對角線上的元素\(\sigma_{ii}^2\)為\(x_i\)的方差，非對角線上的元素\(\sigma_{ij}^2\)為\(x_i\)和\(x_j\)的協方差。
由上面可以看出，均值向量\(\mu\)有\(d\)個參數，協方差矩陣\(\sum\)因為對稱，所以有\(d(d+1)/2\)個參數，所以多元高斯分布一共由\(d+d(d+1)/2\)個參數決定。
從多元高斯分布中抽取的樣本大部分落在由\(\mu\)和\(\Sigma\)所確定的一個區域里，該區域的中心由向量\(\mu\)決定，區域大小由協方差矩陣\(\Sigma\)決定。且從式子（2.1）可以看出，當指數項為常數時，密度\(p(\bf x)\)值不變，因此等密度點是使指數項為常數的點，即滿足:
\[({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})=常數 \tag{2.7} \]
上式的解是一個超橢圓面，且其主軸方向由\(\sum\)的特征向量所決定，主軸的長度與相應的協方差矩陣\(\Sigma\)的特征值成正比。
在數理統計中，式子（2.7）所表示的數量：
\[\gamma^2=({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\mu) \]
稱為\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距離的平方。所以等密度點軌跡是\(\bf x\)到\(\mu\)的Mahalanobis距離為常數的超橢球面。這個超橢球體大小是樣本對於均值向量的離散度度量。對應的M式距離為\(\gamma\)的超橢球體積為：
\[V=V_d|\Sigma|^{\frac{1}{2}}\gamma^d \]
其中\(V_d\)是d維單位超球體的體積：
\[V_d=\begin{cases}\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{(\frac{d}{2})!},&d 為偶數\\ \frac{2^d\pi^{(\frac{d-1}{2})}(\frac{d-1}{2})!}{d!},d為奇數 \end{cases}\]
如果多元高斯隨機向量\(\bf x\)的協方差矩陣是對角矩陣，則\(\bf x\)的分量是相互獨立的高斯分布隨機變量。
2.1 - 多變量高斯分布中馬氏距離的2維表示
上面式2.7是樣本點\(\bf x\)與均值向量\(\bf \mu\)之間的馬氏距離。我們首先對\(\Sigma\)進行特征分解，即\(\Sigma=\bf U\Lambda U^T\),這里\(\bf U\)是一個正交矩陣，且\(\bf U^TU=I\)，\(\bf\Lambda\)是特征值的對角矩陣。且：
\[{\bf\Sigma}^{-1}={\bf U^{-T}\Lambda^{-1}U^{-1}}={\bf U\Lambda^{-1}U^T}=\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T \]
這里\({\bf u}_i\)是\(\bf U\)的第\(i\)列，包含了第\(i\)個特征向量。因此可以重寫成：
\[\begin{eqnarray}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu}) &=&({\bf x-\mu})^T\left(\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T\right)({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}({\bf x-\mu})^T{\bf u}_i{\bf u}_i^T({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{y_i^2}{\lambda_i} \end{eqnarray}\]
這里\(y_i={\bf u}_i^T(\bf x-\mu)\),可以看出，當只選擇兩個維度時，即可得到橢圓公式 :
\[\frac{y_1^2}{\lambda_1}+\frac{y_2^2}{\lambda_2}=1 \]
其中該橢圓的長軸與短軸的方向由特征向量而定，軸的長短由特征值大小而定。
ps：所以得出結論，馬氏距離就是歐式距離先通過\(\bf \mu\)中心化，然后基於\(\bf U\)旋轉得到的。
2.2多變量高斯分布的最大似然估計
假設有\(N\)個iid的高斯分布的樣本即${\bf x}_i \(~\) \cal N(\bf \mu,\Sigma)$，則該分布的期望和方差（這里是協方差）：
\[\hat\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i=\overline{\bf x}\tag{2.2.1} \]
\[\begin{eqnarray}\hat{\Sigma} &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\overline x})({\bf x}_i-{\bf\overline x})^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T-{\bf x}_i{\bf \overline x}^T-{\bf \overline x}{\bf x}_i^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\right)\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-2{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T \end{eqnarray}\tag{2.2.2}\]
為了求得他們的最大似然估計，需要預先知道如下知識：
圖2.2.1 書mlapp上公式4.10
\[{\bf x^TAx}=tr({\bf x^TAx})=tr({\bf xx^TA})=tr({\bf Axx^T})\tag{2.2.3} \]
因為多元高斯分布可寫成:
\[p(d|\mu,\Sigma)= \frac{1}{{2\pi}^{d/2}}*|\Sigma^{-1}|^{1/2}*\exp\left[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\right]\tag{2.2.4} \]
\[\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]
這里\(\bf \Lambda=\Sigma^{-1}\)是協方差矩陣的逆矩陣，也就是精度矩陣。
並假設\({\bf y}_i={\bf x}_i-\mu\)，采用鏈式求導法則,且按照圖2.2.1第二個公式，得：
\[\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}\left(\frac{1}{2}({{\bf x}_i-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({{\bf x}_i-\mu})\right) &=&\frac{d}{d{\bf y}_i}\left({\bf y}_i^T\Sigma^{-1}{\bf y}_i\right)\frac{d{\bf y}_i}{d\mu}\\ &=&(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i(-1)\\ &=&-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i \end{eqnarray}\]
且\(\Sigma\)是對稱矩陣，所以：
\[\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}{\scr L}(\mu,\Sigma) &=&0+\frac{d}{d\mu}\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu})\right)\\ &=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i\right)\\ &=&\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}{\bf y}_i\\ &=&\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-\mu)=0 \end{eqnarray}\]
從而，多元高斯分布的期望為：\(\hat \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i\)
因為
\(\bf A_1B+A_2B=(A_1+A_2)B\)
\(tr({\bf A})+tr({\bf B})=tr(\bf A+B)\)
所以
\(tr({\bf A_1 B})+tr({\bf A_2 B})=tr[(\bf A_1+A_2)B]\)
通過公式2.2.3，且假定\({\bf S}_\mu=\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T\)可知公式2.2.5可表示成：
\[\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Ntr[({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}]\\ &=&\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}tr({\bf S_\mu}{\bf \Lambda}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}\]
所以：
\[\frac{d\scr L(\mu,\Sigma)}{d{\bf \Lambda}}=\frac{N}{2}{\bf \Lambda^{-T}}-\frac{1}{2}{\bf S}_\mu^T=0 \]
\[{\bf \Lambda^{-T}}={\bf \Lambda^{-1}}=\Sigma=\frac{1}{N}{\bf S}_\mu \]
最后得到了多元高斯分布協方差的期望值為:
\(\hat{\Sigma} =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\mu})({\bf x}_i-{\bf\mu})^T\)
2.3 基於多元變量高斯分布的分類方法
1 - 各個類別的協方差都相等\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\):
並且可以直觀的知道：
\[p(X={\bf x}|Y=c_k,{\bf \theta}) = {\cal N}({\bf x|\mu}_{c_k},\Sigma_{c_k}）\tag{3.1} \]
ps：基於第\(k\)類基礎上關於變量\(\bf x\)的概率，就是先挑選出所有\(k\)類的樣本，然后再計算其多元高斯概率。且如果\(\Sigma_{c_k}\)是對角矩陣(即不同特征之間相互獨立)，則其就等於朴素貝葉斯。
且可知對於多分類問題，給定一個測試樣本其特征向量，預測結果為選取概率最大的那個類別：
\[\begin{eqnarray}\hat y({\bf x}) &=&arg\max_{c_k}P(Y={c_k}|X={\bf x})\\ &=&arg\max_{c_k}\frac{P(Y={c_k},X={\bf x})}{P(X={\bf x})} \end{eqnarray}\tag{3.2}\]
因為對於每個類別計算當前測試樣本概率時，分母都是相同的，故省略，比較分子大的就行，也就是聯合概率大的那個，從而式子3.2等價於：
\[\hat y({\bf x})=arg\max_{c_k}P(X={\bf x}|Y={c_k})P(Y={c_k}) \]
而所謂LDA，就是當每個類別的協方差都相等，即\(\Sigma_{c_k}=\Sigma\),所以:
\(P(X={\bf x}|Y={c_k})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\)
\(P(Y={c_k})=\pi_{c_k}\)
從而，可發現：
\[\begin{eqnarray}P(Y={c_k}|X={\bf x}) \quad &正比於& \pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]\\ &=&\frac{exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]}{exp[\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]} \end{eqnarray}\]
從而上式的分母又可以省略
假定\(\gamma_{c_k}=-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}\)，而\(\beta_{c_k}=\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}\)
從而:
\[P(Y={c_k}|X={\bf x})=\frac{exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}{\sum_{k=1}^{|c|}exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}=S(\eta)_{c_k} \]
這里\(\eta=[{\beta_{c_1}^T{\bf x}+\gamma_{c_1}},{\beta_{c_2}^T{\bf x}+\gamma_{c_2}},...,{\beta_{c_|c|}^T{\bf x}+\gamma_{c_|c|}}]\),可以發現它就是一個softmax函數，即：
\[S(\eta)_{c_k}=\frac{exp(\eta_{c_k})}{\sum_{k=1}^{|c|}exp(\eta_{c_k})} \]
softmax之所以這樣命名就是因為它有點像max函數。
對於LDA模型，假設將樣本空間划分成n個互相獨立的空間，則線性分類面，就是該分類面兩邊的類別預測概率相等的時候，即：
\(P(Y={c_k}|X={\bf x})=P(Y={c_k'}|X={\bf x})\)
\(\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k}=\beta_{c_k'}^T{\bf x}+\gamma_{c_k'}\)
\({\bf x}^T(\beta_{c_k'}-\beta_{c_k})=\eta_{c_k'}-\eta_{c_k}\)
參考資料：
[] 邊肇祺。模式識別 第二版
[] Machine learning A Probabilistic Perspective
[] William.Feller, 概率論及其應用(第1卷)
