復高斯分布及在信號處理中的應用

高斯變量基礎

高斯分布

\[X\sim(\mu,\sigma^2） \]

概率密度函數

\[p=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}} \]

性質

• 正態分布轉化成標准正態分布，當\(X\sim(\mu,\sigma^2）\)，則有\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)
• 若\(X\sim(\mu,\sigma^2)\)，有\(aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)
• 若\(X\sim(\mu_x,\sigma^2_x)\)，\(Y\sim(\mu_y,\sigma^2_y)\)且統計獨立,則\(U=X+Y\sim N(\mu_x+\mu_y,\sigma^2_x+\sigma^2_y)\)

復高斯分布

若復高斯分布\(Z=X+iY\), 且滿足\(X\sim(\mu_x,\sigma^2_x)\)，\(Y\sim(\mu_y,\sigma^2_y)\)，\(\mu=\mu_x=\mu_y, \sigma^2=\sigma_x^2=\sigma_y^2\)，
則有\(\mu_z=\mu_x+i\mu_y\), \(\sigma_z^2=2\sigma_x^2=2\sigma_y^2\)

概率密度函數

\[p_{xy}=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(x-\mu_x)^2+(y-\mu_y)^2}{2\sigma^2}}\\ p_z=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{(z-\mu_z)^2}{2\sigma^2}} \\ p_z=\frac{1}{\pi\sigma_z^2}e^{-\frac{(z-\mu_z)^2}{\sigma_z^2}}\]

注：復高斯隨機變量的密度函數，分母已經沒有根號

應用

零均值循環對稱復高斯隨機變量

特殊的，當\(\mu=\mu_x=\mu_y=0\)時，\(Z\)稱為零均值循環對稱復高斯隨機變量（zero mean circle symmetric complex gaussian,ZMCSCG）,\(\sigma_2\)稱為每個實數維度上的方差。

以上分析得出復高斯隨機變量與每一實數維度高斯隨機變量的關系

卡方分布

設\(X_1,X_2,X_3,\dots, i.i.d\sim N(0,1)\), 令\(X=\sum\limits_{i=1}^nX_i^n\), 則\(X\)是服從自由度為\(n\)的\(\chi^2\)分布，記為\(X\sim \chi^2(n)\)
卡方分布為特殊的Gamma分布，服從參數為\(G(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\)

Gamma分布： $$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}t^{\alpha-1} e^{-t}dt $$ 令$t=\beta x$, 可得： $$\gamma(x;\alpha, \beta)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$$

復高斯隨機變量的模平方：

設\(Z=X+iY\sim(0,\sigma_z^2)\), 則\(\sigma_z^2=2\sigma_x^2\)

\[Z=X+iY \\ \frac{Z}{\sigma_x}=\frac{X}{\sigma_x}+i\frac{Y}{\sigma_x} \]

注意：\(\sigma_x = \sigma_y\)

\[|\frac{Z}{\sigma_x}|^2=\frac{2|Z|^2}{\sigma_z^2}\sim \chi^2(2)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}\sim \exp(\lambda=\frac{1}{2}) \]

可得\(|\frac{Z}{\sigma_x}|^2\)服從\(\chi^2(2)\)分布.

求得此分布有什么用呢？

指數分布

在特殊情況下，當給定一個復高斯隨機變量，其模平方服從指數分布，即\(Z=X+iY,\sigma_{x}^{2} =\sigma_{y}^{2} = 0.5,\sigma_{z}^{2} = 1\)
利用隨機變量函數的性質：

\[ X\sim f_X(x) \qquad y=g(x) \\ f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))(g^{-1}(y))' \]

令\(Y=aX+b\), 則\(X=\frac{Y-b}{a}\), 可得：

\[f_Y(y)=\frac{1}{a}f_X(\frac{y-b}{a}) \]

\[\frac{2|Z|^2}{\sigma_z^2}=2|Z|^2\sim \exp(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x} \\ a=0.5 (此處要利用上述隨機變量函數的性質)\\ 0.5*(2|Z|^2)\sim \exp(1) \\ a|z|^2\sim \exp(\frac{1}{a}) \]

注意點：

• 復高斯隨機變量概率表達式的分母
• 復高斯隨機變量模平方的分布與卡方分布、指數分布、Gamma分布之間的關系
  

Rayleigh分布

上述討論了復高斯隨機變量的模平方分布，現在討論福高斯隨機變量的模/包絡的分布。
復高斯隨機變量的模服從Rayleigh分布。

有時間再補充。。。

附錄：
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https://www.jianshu.com/p/8268c5ef8e94