文首
我們都知道負數在計算機中是以補碼（忘了補碼定義的戳這里）表示的，那為什么呢？本文嘗試了解補碼的原理，而要想理解它，首先得理解算術中“模”的概念。所以首先看一下什么是模，然后通過一個小例子來理解補碼。
1 模（Modulo）
1.1 什么是模數
In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers “wrap around” upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).
1.1.1 理解
模是指一個計量系統的計數范圍。如時鍾等。計算機也是一個計算器，它也是有一個計量范圍，即都存在一個“模”。
如時鍾的計量范圍是0~11，模 = 12。
32位計算機的計量范圍是2^32，模 = 2^32。
“模”是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數，如12的余數有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
1.2 補數
假設當前時針指向11點，而准確時間是8點，調整時間可有以下兩種撥法：
- 一種是倒撥3小時，即：
11-3=8 - 另一種是順撥9小時：
11+9=12+8=8
在以模為12的系統中，加9和減3效果是一樣的，因此凡是減3運算，都可以用加9來代替。對“模”12而言，9和3互為補數（二者相加等於模）。所以我們可以得出一個結論，即在有模的計量系統中，減一個數等於加上它的補數，從而實現將減法運算轉化為加法運算的目的。
1.3 再談“模”
從上面的化減法為加法，以及所謂的溢出等等可以看到，“模”可以說就是一個太極，陰陽轉化，周而復始，無始無終，循環往復。
2 補碼原理
計算機上的補碼就是算術里的補數。
設我們有一個 4 位的計算機，則其計量范圍即模是
2^4 = 16，所以其能夠表示的范圍是0~15，現在以計算 5 - 3為例，我們知道在計算機中，加法器實現最簡單，所以很多運算最終都要轉為加法運算，因此5-3就要轉化為加法：
# 按以上理論，減一個數等於加上它的補數，所以 5 - 3 # 等價於 5 + (16 - 3) // 算術運算單元將減法轉化為加法 # 用二進制表示則為： 0101 + (10000 - 0011) # 等價於 0101 + ((1 + 1111) - 0011) # 等價於 0101 + (1 + (1111 - 0011)) # 等價於 0101 + (1 + 1100) // 括號內是3（0011）的反碼+1，正是補碼的定義 # 等價於 0101 + 1101 # 所以從這里可以得到 -3 = 1101 # 即 `-3` 在計算機中的二進制表示為 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的補碼（`1101`）”。 # 最后一步 0101 + 1101 等於 10010- 1
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因為我們的計算機是 4 位的，第一位“溢出”了，所以我們只保存了 4 位，即 0010，而當計算機去讀取時這正是我們所期望的 2！！嘆為觀止吧，天才般的設計！感恩伏羲、萊布尼茲和馮諾依曼！
文末
一陰一陽之謂道。萬事萬物，陰陽轉化，周而復始，無始無終，循環往復。