基礎訓練
(1)\(z=-\cfrac{1}{4}x+y\)的最大值和最小值。
分析：將所給的目標函數改寫成\(l:y=\cfrac{1}{4}x+z\)，則可以看到\(z\)的幾何意義是直線\(l\)的縱截距，則直線\(l\)沿\(y\)軸向上平移，則\(z\)增大；直線\(l\)沿\(y\)軸向下平移，則\(z\)減小；故直線經過點\(A(2,0)\)時，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times2+0=-\cfrac{1}{2}\)；直線經過點\(B(-2,-2)\)時，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)+(-2)=-\cfrac{3}{2}\)；
(2)求\(z=-\cfrac{1}{4}x-y\)的最大值和最小值。
分析：將所給的目標函數改寫成\(l:y=-\cfrac{1}{4}x-z\)，則可以看到\(-z\)的幾何意義是直線\(l\)的縱截距，則直線\(l\)沿\(y\)軸向上平移，則\(-z\)增大，則\(z\)減小；直線\(l\)沿\(y\)軸向下平移，則\(-z\)減小，則\(z\)增大；故直線經過點\(A(2,0)\)時，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times2-0=-\cfrac{1}{2}\)；直線經過點\(B(-2,-2)\)時，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)-(-2)=\cfrac{3}{2}\)；
典例剖析
提示：法1，線性規划法；法2：分離參數法。
設\(k>1\)，在約束條件\(\begin{cases} &y\ge x \\ &y\leq kx \\ &x+y\leq 1\end{cases}\)下，目標函數\(z=x+ky\)的最大值小於2，則\(k\)的取值范圍是多少？
分析：自行補圖，由圖像可知目標函數\(y=-\cfrac{1}{k}x+\cfrac{z}{k}\)的最優解是直線\(y=kx\)和\(x+y=1\)的交點\((\cfrac{1}{k+1}，\cfrac{k}{k+1})\)，
代入得到\(z_{max}=\cfrac{1}{k+1}+\cfrac{k^2}{k+1}<2\)，化簡得到\(k^2-2k+1<2\)，又\(k>1\)，故\(k\in (1，1+\sqrt{2})\).
分析：有圖可知，僅在點\((1，1)\)處取到最小值，只需目標函數\(y=-\cfrac{k}{2}x+\cfrac{z}{2}\)的斜率滿足條件\(-1<-\cfrac{k}{2}<2\)即可，解得\(k\in(-4，2)\)；
引申：若題目變為：點\((1，1)\)處取到最小值或取到最小值的最優解不唯一，可得到\(k\in [-4，2]\)；
分析：先求得\(a=2\)，再代入做出可行域如圖，課件地址
由可行域可以看出\(k=\cfrac{y+1}{x+2}\in [-\cfrac{1}{4}，\cfrac{5}{4}]\)，再將目標函數變形\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}=\cfrac{3(x+2)+4y+4}{x+2}=3+4\times\cfrac{y+1}{x+2}\)，從而可以計算出\(z\in [2，8]\).
分析：由題目已知，能很快轉化為在線性約束條件\(\begin{cases} &a-2b-5 \leq 0 \\ &a+b-4\leq 0 \\ &3a+b-10 \ge 0\end{cases}\)下，求目標函數\(z=f(-1,1)=-a+b\)的最大值問題。 余下解答略。
設P是不等式組\(\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\x+3y\leq 1\end{cases}\)表示的平面區域內的任意一點，向量\(\vec{m}=(-1，1)\)，\(\vec{n}=(2，-1)\)，若\(\overrightarrow{OP}=\lambda\vec{m}+\mu\vec{n}\)，則\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范圍是多少？
分析：由$\overrightarrow{OP}=(x，y)=(-\lambda+2\mu，\lambda-\mu)$；
則有\(x=-\lambda+2\mu，y=\lambda-\mu\)代入已知的線性約束條件，
得到\(\begin{cases}-\lambda+2\mu\ge 0\\\lambda-\mu\ge 0\\-\lambda+2\mu+3(\lambda-\mu)\leq 1\end{cases}\)，求\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范圍，
即相當於已知\(\begin{cases}x-2y\leq 0\\x-y\ge 0 \\ 2x-y\leq1\end{cases}\)，求\(k=\cfrac{y-0}{x-(-1)}\)的取值范圍，
如右圖所示，故\(k_{min}=k_{BO}=0\)，\(k_{max}=k_{BA}=\cfrac{1-0}{1+1}=\cfrac{1}{2}\)，
故\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范圍為\([0，\cfrac{1}{2}]\)。
已知\(O\)是坐標原點，點\(A(2，1)\)，點\(M(x，y)\)是平面區域\(\begin{cases}&y\leq x\\&x+y\leq 1\\&y\ge -1\end{cases}\)內的一個動點，則\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？
法1：利用向量的坐標運算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故轉化為求\(2x+y\)的最大值，即求\(z=2x+y\)的最大值，用線性規划的常規方法解決即可。
法2：利用向量的投影的幾何意義求解，說明：點\(M\)是三角形區域內部及邊界上的一個動點，動畫只做了點\(M\)在邊界上的情形；
注：圖中有向線段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，它是可正，可負，可零的；
\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是個定值，
故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的幾何意義是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，
由圖形可知，當點\(M(x，y)\)位於點\((2，-1)\)時投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故將點\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。
變式題1：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？
分析：由上圖可以看出，當兩個向量的夾角為鈍角時，其投影是負值，故當點\(M\)位於點\(C\)時，其內積最小，
此時將點\((-1，-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。
變式題2：求向量\(\overrightarrow{OM}\)的投影的絕對值最小時的動點\(M\)的軌跡方程？
分析：當其夾角為\(90^{\circ}\)時，有向線段\(OB=0\)，故向量\(\overrightarrow{OM}\)的投影的絕對值最小\(0\)；
此時，點\(M\)在三角形區域內部且和直線\(OA\)垂直，故其軌跡為\(y=-2x，(-1\leqslant y\leqslant 0)\)
【分析】先由函數單調遞減轉化為恆成立，再轉化為線性規划問題求解。
【解答】
由函數\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在區間\([-1，1]\)單調減少，
可得\(f'(x)=3x^2+6ax+3b\leq 0\)在\([-1，1]\)上恆成立，
即\(\left\{\begin{array}{l}{f'(-1)\leq 0}\\{f'(1)\leq 0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{3-6a+3b\leq 0}\\{3+6a+3b\leq 0}\end{array}\right.\)，
又\(a>0\)，得到
\(\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1\ge 0}\\{2a+b+1\leq 0}\\{a>0}\end{array}\right.\)，
做出可行域如右圖，由圖可知，當直線\(z=2a+b\)，即\(b=-2a+z\)平移和直線\(2a+b+1= 0\)平行時，
\(2a+b\)取到最大值，最大值為\(-1\)。
本題容易受\(a>0\)的影響，即點\((0，-1)\)不在可行域內，
但可以在直線\(2a+b+1=0\)上另外取一點代入求值。
【點評】當利用恆成立轉化為線性規划問題后，題目的難度就降低了。同時提醒注意由恆成立命題向二次不等式組轉化的這一數學模型，希望大家能理解記憶，以后碰到就可以直接應用。
【法1】轉化為斜率型，
思路如下：由於所求值函數為分式形式的關於\(a、b\)的一次齊次式，
故可以轉化為\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\)，
\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\)，其中\(k=\cfrac{b}{a}\)
這樣先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1，3]\)
函數\(f(k)\)在區間\([1，3]\)上單調遞增，
然后用單調性，求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)
【法2】換元法，令\(a+2b=n\)，\(2a+b=m\)，
聯立解以\(a、b\)為元的方程組，得到
\(a=\cfrac{2m-n}{3}\)，\(b=\cfrac{2n-m}{3}\)，
代入原不等式組，可將原約束條件轉化為關於\(m 、n\)的不等式組，
即已知\(m 、n\)滿足條件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\)，
求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范圍。
利用數形結合思想可得，\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)。圖像
分析：如圖所示，從數上理解\(\cfrac{y}{x-5}=\cfrac{y-0}{x-5}\)，從形上理解，應該是定點\(A(5，0)\)和動點\(P(x，y)\)的連線的斜率的取值范圍；
故當\(k_{AP}\)最大時，點\(P\)坐標應該為\((1，1)\)，此時\(k_{max}=-\cfrac{1}{4}\)；
當\(k_{AP}\)最小時，點\(P\)位於直線\(y=k(x-5)\)和函數\(y=\sqrt{9-x^2}\)相切的切點\(Q\)處，以下重點求切點\(Q(x_0，y_0)\)的坐標；
法1：連結\(OQ\)，可知\(|OQ|=3\)，\(|AQ|=4\)，利用等面積法，可知\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，代入函數\(y=\sqrt{9-x^2}\)求得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)
故所求范圍是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；
法2：利用導數求切點\(Q(x_0，y_0)\)的坐標；
由於\(y=g(x)=\sqrt{9-x^2}\)，則\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (9-x^2)^{-\cfrac{1}{2}}\cdot (-2x)=\cfrac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\)，
則\(k=\cfrac{-x_0}{\sqrt{9-x_0^2}}\)①，\(y_0=k(x_0-5)\)②，\(y_0=\sqrt{9-x_0^2}\)③，聯立①②③，解得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，
代入函數\(y=\sqrt{9-x^2}\)，求得\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)，
故所求范圍是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；
分析：做出如圖所示的三角形可行域，三條邊長可知，故求其外接圓的半徑可以采用\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{abc}{4R}\)，
又由於\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}\times 3\times 2=3\)，則\(3=\cfrac{3\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{4R}\)，解得\(R=\cfrac{5}{2}\)，故\(S_{外接圓}=\cfrac{25\pi}{4}\)。
解后反思：結合題目的具體條件，選擇恰當的公式，計算量能相應的減少。
分析：先用常規方法求得\(m=x-y\)的取值范圍，可得\(m\in [-4，2]\)，則\(z=|m|\in [0，4]\)，故選\(B\)。
思路一：轉化為點線距
為什么想到這個，我們發現\(|2x+y-2|+|x+3y-6|=\sqrt{5}\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}+\sqrt{10}\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)，
其中表達式\(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\)和\(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)分別表示園內及圓上的動點到兩條直線的距離，所以可以把“數”的問題轉化為“形”的問題。
思路二：三角代換，令\(x=R\cos\theta，y=R\sin\theta，R\in[0，1]\)，則\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\ge|3R\cos\theta+4R\sin\theta-8|=|5R\sin(\theta+\phi)-8|\)
思路三：
分析： 如圖所示，做出可行域，則點\(C\)應該是線段\(AB\)的中點；
思路1：用等面積法和中點坐標法，求得直線\(y=kx\)所經過的另一個點\(C(2,4)\)，故\(k=2\)
思路2：用向量法求得點\(C\)，設\(C(x,y)\)，則\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)，
即\((x-4,y-1)=(0-x,7-y)\)，解得\(C(2,4)\)，故\(k=2\)
引申：點\(C\)是線段\(AB\)的三等分點，求\(k\)；
此時用線段的定比分點坐標公式或者向量法可以求得點\(C\)的坐標；
比如用向量法，設\(C(x,y)\)，
當\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=2(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{4}{3},5)\)，故\(k=\cfrac{15}{4}\);
當\(\overrightarrow{AC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=\cfrac{1}{2}(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{8}{3},3)\)，故\(k=\cfrac{9}{8}\);