基础训练
(1)\(z=-\cfrac{1}{4}x+y\)的最大值和最小值。
分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=\cfrac{1}{4}x+z\)，则可以看到\(z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(z\)增大；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(z\)减小；故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times2+0=-\cfrac{1}{2}\)；直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)+(-2)=-\cfrac{3}{2}\)；
(2)求\(z=-\cfrac{1}{4}x-y\)的最大值和最小值。
分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=-\cfrac{1}{4}x-z\)，则可以看到\(-z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(-z\)增大，则\(z\)减小；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(-z\)减小，则\(z\)增大；故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times2-0=-\cfrac{1}{2}\)；直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)-(-2)=\cfrac{3}{2}\)；
典例剖析
提示：法1，线性规划法；法2：分离参数法。
设\(k>1\)，在约束条件\(\begin{cases} &y\ge x \\ &y\leq kx \\ &x+y\leq 1\end{cases}\)下，目标函数\(z=x+ky\)的最大值小于2，则\(k\)的取值范围是多少？
分析：自行补图，由图像可知目标函数\(y=-\cfrac{1}{k}x+\cfrac{z}{k}\)的最优解是直线\(y=kx\)和\(x+y=1\)的交点\((\cfrac{1}{k+1}，\cfrac{k}{k+1})\)，
代入得到\(z_{max}=\cfrac{1}{k+1}+\cfrac{k^2}{k+1}<2\)，化简得到\(k^2-2k+1<2\)，又\(k>1\)，故\(k\in (1，1+\sqrt{2})\).
分析：有图可知，仅在点\((1，1)\)处取到最小值，只需目标函数\(y=-\cfrac{k}{2}x+\cfrac{z}{2}\)的斜率满足条件\(-1<-\cfrac{k}{2}<2\)即可，解得\(k\in(-4，2)\)；
引申：若题目变为：点\((1，1)\)处取到最小值或取到最小值的最优解不唯一，可得到\(k\in [-4，2]\)；
分析：先求得\(a=2\)，再代入做出可行域如图，课件地址
由可行域可以看出\(k=\cfrac{y+1}{x+2}\in [-\cfrac{1}{4}，\cfrac{5}{4}]\)，再将目标函数变形\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}=\cfrac{3(x+2)+4y+4}{x+2}=3+4\times\cfrac{y+1}{x+2}\)，从而可以计算出\(z\in [2，8]\).
分析：由题目已知，能很快转化为在线性约束条件\(\begin{cases} &a-2b-5 \leq 0 \\ &a+b-4\leq 0 \\ &3a+b-10 \ge 0\end{cases}\)下，求目标函数\(z=f(-1,1)=-a+b\)的最大值问题。 余下解答略。
设P是不等式组\(\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\x+3y\leq 1\end{cases}\)表示的平面区域内的任意一点，向量\(\vec{m}=(-1，1)\)，\(\vec{n}=(2，-1)\)，若\(\overrightarrow{OP}=\lambda\vec{m}+\mu\vec{n}\)，则\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围是多少？
分析：由$\overrightarrow{OP}=(x，y)=(-\lambda+2\mu，\lambda-\mu)$；
则有\(x=-\lambda+2\mu，y=\lambda-\mu\)代入已知的线性约束条件，
得到\(\begin{cases}-\lambda+2\mu\ge 0\\\lambda-\mu\ge 0\\-\lambda+2\mu+3(\lambda-\mu)\leq 1\end{cases}\)，求\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围，
即相当于已知\(\begin{cases}x-2y\leq 0\\x-y\ge 0 \\ 2x-y\leq1\end{cases}\)，求\(k=\cfrac{y-0}{x-(-1)}\)的取值范围，
如右图所示，故\(k_{min}=k_{BO}=0\)，\(k_{max}=k_{BA}=\cfrac{1-0}{1+1}=\cfrac{1}{2}\)，
故\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围为\([0，\cfrac{1}{2}]\)。
已知\(O\)是坐标原点，点\(A(2，1)\)，点\(M(x，y)\)是平面区域\(\begin{cases}&y\leq x\\&x+y\leq 1\\&y\ge -1\end{cases}\)内的一个动点，则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？
法1：利用向量的坐标运算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故转化为求\(2x+y\)的最大值，即求\(z=2x+y\)的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。
法2：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点\(M\)在边界上的情形；
注：图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，它是可正，可负，可零的；
\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值，
故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，
由图形可知，当点\(M(x，y)\)位于点\((2，-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故将点\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。
变式题1：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？
分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点\(M\)位于点\(C\)时，其内积最小，
此时将点\((-1，-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。
变式题2：求向量\(\overrightarrow{OM}\)的投影的绝对值最小时的动点\(M\)的轨迹方程？
分析：当其夹角为\(90^{\circ}\)时，有向线段\(OB=0\)，故向量\(\overrightarrow{OM}\)的投影的绝对值最小\(0\)；
此时，点\(M\)在三角形区域内部且和直线\(OA\)垂直，故其轨迹为\(y=-2x，(-1\leqslant y\leqslant 0)\)
【分析】先由函数单调递减转化为恒成立，再转化为线性规划问题求解。
【解答】
由函数\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在区间\([-1，1]\)单调减少，
可得\(f'(x)=3x^2+6ax+3b\leq 0\)在\([-1，1]\)上恒成立，
即\(\left\{\begin{array}{l}{f'(-1)\leq 0}\\{f'(1)\leq 0}\end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l}{3-6a+3b\leq 0}\\{3+6a+3b\leq 0}\end{array}\right.\)，
又\(a>0\)，得到
\(\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1\ge 0}\\{2a+b+1\leq 0}\\{a>0}\end{array}\right.\)，
做出可行域如右图，由图可知，当直线\(z=2a+b\)，即\(b=-2a+z\)平移和直线\(2a+b+1= 0\)平行时，
\(2a+b\)取到最大值，最大值为\(-1\)。
本题容易受\(a>0\)的影响，即点\((0，-1)\)不在可行域内，
但可以在直线\(2a+b+1=0\)上另外取一点代入求值。
【点评】当利用恒成立转化为线性规划问题后，题目的难度就降低了。同时提醒注意由恒成立命题向二次不等式组转化的这一数学模型，希望大家能理解记忆，以后碰到就可以直接应用。
【法1】转化为斜率型，
思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于\(a、b\)的一次齐次式，
故可以转化为\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\)，
\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\)，其中\(k=\cfrac{b}{a}\)
这样先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1，3]\)
函数\(f(k)\)在区间\([1，3]\)上单调递增，
然后用单调性，求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)
【法2】换元法，令\(a+2b=n\)，\(2a+b=m\)，
联立解以\(a、b\)为元的方程组，得到
\(a=\cfrac{2m-n}{3}\)，\(b=\cfrac{2n-m}{3}\)，
代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于\(m 、n\)的不等式组，
即已知\(m 、n\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\)，
求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范围。
利用数形结合思想可得，\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)。图像
分析：如图所示，从数上理解\(\cfrac{y}{x-5}=\cfrac{y-0}{x-5}\)，从形上理解，应该是定点\(A(5，0)\)和动点\(P(x，y)\)的连线的斜率的取值范围；
故当\(k_{AP}\)最大时，点\(P\)坐标应该为\((1，1)\)，此时\(k_{max}=-\cfrac{1}{4}\)；
当\(k_{AP}\)最小时，点\(P\)位于直线\(y=k(x-5)\)和函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)相切的切点\(Q\)处，以下重点求切点\(Q(x_0，y_0)\)的坐标；
法1：连结\(OQ\)，可知\(|OQ|=3\)，\(|AQ|=4\)，利用等面积法，可知\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，代入函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)求得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)
故所求范围是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；
法2：利用导数求切点\(Q(x_0，y_0)\)的坐标；
由于\(y=g(x)=\sqrt{9-x^2}\)，则\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (9-x^2)^{-\cfrac{1}{2}}\cdot (-2x)=\cfrac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\)，
则\(k=\cfrac{-x_0}{\sqrt{9-x_0^2}}\)①，\(y_0=k(x_0-5)\)②，\(y_0=\sqrt{9-x_0^2}\)③，联立①②③，解得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，
代入函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)，求得\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)，
故所求范围是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；
分析：做出如图所示的三角形可行域，三条边长可知，故求其外接圆的半径可以采用\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{abc}{4R}\)，
又由于\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}\times 3\times 2=3\)，则\(3=\cfrac{3\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{4R}\)，解得\(R=\cfrac{5}{2}\)，故\(S_{外接圆}=\cfrac{25\pi}{4}\)。
解后反思：结合题目的具体条件，选择恰当的公式，计算量能相应的减少。
分析：先用常规方法求得\(m=x-y\)的取值范围，可得\(m\in [-4，2]\)，则\(z=|m|\in [0，4]\)，故选\(B\)。
思路一：转化为点线距
为什么想到这个，我们发现\(|2x+y-2|+|x+3y-6|=\sqrt{5}\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}+\sqrt{10}\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)，
其中表达式\(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\)和\(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)分别表示园内及圆上的动点到两条直线的距离，所以可以把“数”的问题转化为“形”的问题。
思路二：三角代换，令\(x=R\cos\theta，y=R\sin\theta，R\in[0，1]\)，则\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\ge|3R\cos\theta+4R\sin\theta-8|=|5R\sin(\theta+\phi)-8|\)
思路三：
分析： 如图所示，做出可行域，则点\(C\)应该是线段\(AB\)的中点；
思路1：用等面积法和中点坐标法，求得直线\(y=kx\)所经过的另一个点\(C(2,4)\)，故\(k=2\)
思路2：用向量法求得点\(C\)，设\(C(x,y)\)，则\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)，
即\((x-4,y-1)=(0-x,7-y)\)，解得\(C(2,4)\)，故\(k=2\)
引申：点\(C\)是线段\(AB\)的三等分点，求\(k\)；
此时用线段的定比分点坐标公式或者向量法可以求得点\(C\)的坐标；
比如用向量法，设\(C(x,y)\)，
当\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=2(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{4}{3},5)\)，故\(k=\cfrac{15}{4}\);
当\(\overrightarrow{AC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=\cfrac{1}{2}(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{8}{3},3)\)，故\(k=\cfrac{9}{8}\);