關於割點和橋的整理

定義及概念

在一個無向圖G中，存在一個點集V，從圖G中刪掉所有屬於V的點及其與之相連的邊，G不連通。如果有一個邊集E，刪掉所有屬於這個集合的邊，G不連通。

• 點連通度：最小V的點數
• 邊連通度：最小E的邊數
• 割點：點連通度為1時，V的唯一元素
• 割邊（橋）：邊連通度為1時，E的唯一元素
• 點雙連通：任意兩點間，存在兩條或以上路徑，且路徑上的點互不重復。（點連通度大於1即可）
• 邊雙連通：任意兩點間，存在兩條或以上路徑，且路徑上的邊互不重復。（邊連通度大於1即可）
• 雙連通分量：在圖G中的子圖Ｇ‘，是一個雙連通子圖，它不是其他雙連通子圖的真子集，則它是一個雙連通分量。
• 邊雙連通分量一定是點雙連通，反之不成立。如下圖，不存在割點，即為點雙連通，但不是邊雙連通。

推論

• 有割點不一定有割邊

• 有割邊不一定有割點

• 兩個割點之間的邊不一定是割邊

• 割邊的端點不一定是割點

• 一個圖可能有多個割點，有多個橋

tarjan算法

定義

• 樹枝邊：DFS搜索樹上的邊
• 前向邊：與DFS方向相同的邊
• 返祖邊：與DFS方向相反的邊

割點

• 關於DFS搜索樹的根節點，如果它有兩棵或兩棵以上的子樹，則它是割點。
  • DFS樹不存在橫叉邊，所以多棵子樹不可能通過直接連通。
• 關於其他節點，如果其子孫的返祖邊，只能連到自己或自己的子孫，而連不到它的祖先，那此節點為割點。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005

int head[MAXN];
struct edge{
    int v,next;
}G[MAXN<<1];
int tot = 0;

int dfn[MAXN],low[MAXN],num = 0;
int ans[MAXN];

int N,M;

inline void add(int u,int v){
    G[++tot].v = v;G[tot].next = head[u];head[u] = tot;
}
void tarjan(int u,int fa){

    dfn[u] = low[u] = ++num;
    int count = 0;//統計子樹數量
    for(register int i=head[u];i;i=G[i].next){
        int v = G[i].v;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            ++count;//子樹數量+1
            low[u] = std::min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u]&&u!=fa)ans[u] = 1;// 如果u不是根節點
        }
        low[u] = std::min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(count>=2&&u==fa)ans[u] = 1;//如果u是根節點，且有兩個及兩個以上的子樹
}

int main(){
    
    std::memset(head,0,sizeof(head));
    std::memset(ans,0,sizeof(ans));
    std::memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int u,v;
    for(register int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);add(v,u);
    }
    
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(!dfn[i])tarjan(i,i);
    }
    
    int count = 0;
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])++count;
    }
    printf("%d\n",count);
    for(register int i=1;i<=N;++i){
        if(ans[i])printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}

割邊

• 返祖邊：一定不是割邊，刪掉此邊后不影響圖連通。
• 關於一條邊(u,v)，若此邊之下的子樹有返祖邊，且這條返祖邊能回到u的祖先及u，則不是割邊