笛卡爾樹
何為笛卡爾樹？
對於一組關系\(fa, ls, rs\)
滿足\(pri[fa] \geqslant max(pri[ls], pri[rs])\)
以及\(val[rs] \geqslant val[fa] \geqslant val[ls]\)
如何構建笛卡爾樹？
按照\(val\)順序順序插入\(n\)個點
那么，新插入的點一定會插入到最右邊(最大)
那么，我們維護最右鏈
同時，注意到最右鏈中\(pri\)單調
因此可以維護一個單調棧，來即時地找到插入位置
void Tree() {
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
pri[i] = rand();
while(top && pri[s[top]] > pri[i])
ls[i] = s[top], top --;
fa[i] = s[top]; fa[ls[i]] = i;
if(fa[i]) rs[fa[i]] = i;
s[++ top] = i;
}
}
建樹的方法2
每次選取區間最大值作為根，然后往兩邊遞歸也可以建樹
直接暴力是\(O(n^2)\)的
線段樹優化一下就可以\(O(n \log n)\)了
一些常見的題目：
虛樹
在一棵樹中，把給定點及相關的\(lca\)求出來后按照原樹的構造連接成的樹
定理一：
樹中\(k\)個節點之間兩兩之間不同的\(lca\)至多有\(k - 1\)個
證明：使用歐拉序
考慮\(dfs\)序最大的一條鏈
按照\(dfs\)序排序后，我們嘗試依次加入點\(a\)
那么，點\(a\)要么新開一條鏈，要么對\(dfs\)序最大的鏈產生影響
只要用一個單調棧來維護當前鏈即可
同時，為了方便，約定退棧連邊
具體而言，有以下幾種情況
我們假設\(v\)是棧頂元素，\(w\)是棧中排第二的元素
\(root\)是\(k\)個點中\(dfs\)序最小的點（即虛樹根），\(lca\)是\(v\)和\(a\)的最近公共祖先
假設原鏈的形式類似於此
第一種情況：
這種情況下，\(v\)退棧，\((v, lca)\)需要被連接，\(lca, a\)依次進棧
第二種情況：
\(a\)直接進棧即可
第三種情況：
\(v\)退棧，\((v, w)\)連接，\(a\)進棧
第四種情況：
\(v\)退棧，\((v, w)\)連接之后情況沒有什么變化
\(w\)成為新的\(v\)，繼續操作直到變為情況1, 3
因此，總結一下步驟
- 先插入虛樹根
- 依次插入后\(i\)個點
- 求出\(a\)與\(v\)的\(lca\)
- 如果\(lca = v\)，跳到第7步
- 如果\(dfn[w] >= dfn[lca]\)，\(v\)退棧，\((v, w)\)連接，重復此步驟
- 如果\(dfn[w] < dfn[lca]\), \(v\)退棧，\((v, lca)\)連接，\(lca\)入棧
否則\(v\)退棧，\((v, w)\)連接- \(a\)入棧
- 重復第\(2\)至第\(7\)步
- 最后處理棧中剩下的最后一條鏈
給個本人的實現吧....
inline bool cmp(int a, int b) { return dfn[a] < dfn[b]; }
//dfn數組為dfs序，dep數組為節點深度
//h數組存儲所有的關鍵點，總共有K個
//st為棧
void Vitural_Tree {
sort(h + 1, h + K + 1, cmp);
st[top = 1] = 1;
for(ri i = 1; i <= K; i ++) {
int rem = lca(st[top], h[i]);
if(rem == st[top]) { st[++ top] = h[i]; continue; }
while(top > 1 && dep[st[top - 1]] >= dep[rem])
{ link(st[top - 1], st[top]); top --; }
if(dep[st[top]] > dep[rem]) link(rem, st[top]), top --;
if(rem != st[top]) st[++ top] = rem;
if(h[i] != st[top]) st[++ top] = h[i];
}
while(top > 1) link(st[top - 1], st[top]), top --;
}
虛樹題目的顯著特征：\(\sum k \leq 3 * 10^5\)（當然有的時候並不是）
PKUWC2019 你和虛樹的故事（不知道什么時候公開呢....）
有關虛樹的擴展
虛樹套數據結構：
動態維護虛樹信息：
真.動態虛樹：（也可能是個假的