笛卡爾樹

笛卡爾樹

大部分內容來自 OI-WIKI

定義：

笛卡爾樹是一種二叉樹，每一個結點由一個鍵值二元組 \((k,w)\) 構成。

要求 \(k\) 滿足二叉搜索樹的性質，而 \(w\) 滿足堆的性質。

如果笛卡爾樹的 \(k,w\) 鍵值確定，\(k,w\) 互不相同，那么這個笛卡爾樹的結構是唯一的。

上面這棵笛卡爾樹相當於把數組元素值當作鍵值 \(w\) ,把數組下標當作鍵值 \(k\) .

顯然可以發現：這棵樹的鍵值 \(k\) 滿足二叉搜索樹的性質，而鍵值 \(w\) 滿足小根堆的性質。

其實這是一種特殊的笛卡爾樹，鍵值 \(k\) 正好對應數組下標。更一般的情況則是任意二元組構建的笛卡爾樹。

構建：

棧構建：

將元素按鍵值 \(k\) 排序（也就是下標），先后插入當前的笛卡爾樹中，那么我們每次插入的元素必然在這個樹的右鏈(從根節點一直往右子樹走形成的鏈) 的末端。

執行這樣一個過程：

• 從下往上比較右鏈節點與當前加入節點 \(x\) 的鍵值 \(w\)：

1. 如果找到右鏈上的節點 \(u\) 滿足 \(w_u<w_x\) ，那么把 \(x\) 接到 \(u\) 的右兒子上，而以 \(u\) 為根的右子樹變成了 \(x\) 的左子樹，然后停止加入過程。

2. 如果沒有找到右鏈上的節點，那么 \(x\) 就是新根，把原來的樹當成 \(x\) 的左兒子。

每次添加值都需要進行一次這樣的比較。

過程圖：

顯然，每個數最多進出右鏈一次，這個過程可以用棧進行維護，棧中維護當前笛卡爾樹右鏈上的節點，不在右鏈就彈出，時間復雜度為 \(O(n)\)

代碼：

for(int i=1;i<=n;i++){
    while(top&&a[stk[top]]>a[i]) son[i][0]=stk[top--];//當前節點成為了i的左兒子 
    if(stk[top]) son[stk[top]][1]=i;//還存在，說明沒有遍歷到頭，因此該點對應的右兒子設置成i
    stk[++top]=i;//新兒子進節點
}

例題：

P5854 笛卡爾樹

題意：

給定一個 \([1-n]\) 的排列 \(p\), 構建一顆二叉樹滿足：

1. 每個節點編號滿足二叉搜索樹性質
2. 節點 \(i\) 的權值為 \(p_i\) ，每個節點權值滿足小根堆性質。

分別求每個節點左 \(/\) 右兒子乘節點編號的異或值之和

分析：

就是構建一顆笛卡爾樹，然后計算就行了：

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
const int N=1e7+5;

int n;
int a[N],son[N][2]; 
int sta[N],top;
int rans,lans;

int read(){//1e7的讀入....記得快讀
    int res=0; char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0'){
        res=(res<<1)+(res<<3)+ch-'0'; ch=getchar();
    }
    return res;
}

signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        while(a[sta[top]]>a[i]&&top) son[i][0]=sta[top--];
        if(sta[top]) son[sta[top]][1]=i;
        sta[++top]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        lans=lans^(i*(son[i][0]+1));
        rans=rans^(i*(son[i][1]+1));
    }
    cout<<lans<<" "<<rans<<endl;    
    system("pause");

    return 0;
}

這里要注意的是：

1. 棧中存儲的每個節點的標號，並不是該節點對應的值

2. 一定要弄清楚左右兒子的賦值情況。

性質(小根笛卡爾樹)：

• 以點 \(u\) 為根的子樹是一段連續極長區間，\(w_x\) 是區間的最小值，區間在保證最小值不變的情況下不能再向兩邊延長。

• 區間 \([a,b]\) 的最小值為 \(w_{lca_{a,b}}\)

• 對於有序數列 \(x\) 及隨機排列 \(y\) ,笛卡爾樹的期望高度為：
  \(E(dep_i)=H(i)+H(n-i+1)\) ，其中調和級數 \(H(n)=\sum_{i=1}^x \frac{1}{i}\)
  關於這個可以看看 [AGC028B] Removing Blocks 這道題，我在博客里也寫了題解。

總結：

笛卡爾樹主要用於解決最大/最小值問題，以及通過記錄時間關於插入刪除的問題。