笛卡爾樹又稱笛卡兒樹，在數據結構中屬於二叉樹的一種。
笛卡爾樹結構由Vuillmin在解決范圍搜索的幾何數據結構問題時提出的，從數列中構造一棵笛卡爾樹可以線性時間完成，需要采用基於棧的算法來找到在該數列中的所有最近小數。由此可知，笛卡爾樹是一種特定的二叉樹數據結構，可由數列構造，在范圍最值查詢、范圍top k查詢（range top k queries）等問題上有廣泛應用。它具有堆的有序性，中序遍歷可以輸出原數列。
笛卡爾樹是一棵二叉樹，樹的每個節點有兩個值，一個為key，一個為value。光看key的話，笛卡爾樹是一棵二叉搜索樹，每個節點的左子樹的key都比它小，右子樹都比它大；光看value的話，笛卡爾樹有點類似堆，根節點的value是最小（或者最大）的，每個節點的value都比它的子樹要大。
構造笛卡爾樹的過程：
使用數據結構棧，棧中保存的始終是右鏈，即根結點、根結點的右兒子、根結點的右兒子的右兒子……組成的鏈
並且棧中從棧頂到棧底key依次減小
如果按照從后到前的順序判斷一個元素是否大於A[i]，則每次插入的時間復雜度為O(k+1)
k為本次插入中移除的右鏈元素個數。因為每個元素最多進出右鏈各一次，所以整個過程的時間復雜度為O(N)。
從前往后遍歷A[i]，
1.對於每一個A[i]，從棧中找出（從棧頂往棧底遍歷，或者從數組后往前遍歷）第一個小於等於A[i]的元素
2.如果找到，i.parent為sta[k],同時sta[k].r=i，即i為sta[k]的右子樹,
3.如果棧中存在比A[i]大的元素 這些元素肯定是出棧了，這個問題最后的代碼統一表示。
同時，sta[k+1].parent=i; i.l=sta[k+1] 即sta[K+1]為i的左子樹
4.最后i入棧，比i大的A[i]都自動出棧了。
例子如下。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .....key
3 2 4 5 6 8 1 9 10 7 .....A,value
stack
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...num
0
1 2 3 4 5
6 7 8
6 9
最后sta[0].parent=-1; 為根節點 即 6 為根節點。
這里給出的是索引從0開始的[0,n-1]
如果題目給出的是[1,n]，可以減一回到[0,n-1]上
代碼：
View Code
1 #include <iostream> 2 #include <queue> 3 using namespace std; 4 const int maxnum=10; 5 6 int a[maxnum]; 7 struct node 8 { 9 int key; 10 int parent; 11 int l; 12 int r; 13 }tree[maxnum]; 14 15 16 void Init() 17 { 18 int i; 19 for(i=0;i<maxnum;i++) 20 tree[i].parent=tree[i].l=tree[i].r=-1; //初始化 21 } 22 23 int Build_Tree() 24 { 25 int i,top,k; 26 int stack[maxnum]; 27 top=-1; 28 for(i=0;i<maxnum;i++) 29 { 30 k=top; 31 while(k>=0 && a[stack[k]]>a[i]) //棧中比當前元素大的都出棧 32 k--; 33 34 if(k!=-1) //find it，棧中元素沒有完全出棧，當前元素為棧頂元素的右孩子 35 { 36 tree[i].parent=stack[k]; 37 tree[stack[k]].r=i; 38 } 39 if(k<top) //出棧的元素為當前元素的左孩子 40 { 41 tree[stack[k+1]].parent=i; 42 tree[i].l=stack[k+1]; 43 } 44 45 stack[++k]=i;//當前元素入棧 46 top=k;//top指向棧頂元素 47 } 48 tree[stack[0]].parent=-1;//遍歷完成后的棧頂元素就是根 49 return stack[0]; 50 } 51 52 void inorder(int node) 53 { 54 if(node!=-1) 55 { 56 inorder(tree[node].l); 57 cout<<tree[node].key<<endl; 58 inorder(tree[node].r); 59 } 60 } 61 62 void levelorder(int node) 63 { 64 queue<int> q; 65 q.push(node); 66 while(!q.empty()) 67 { 68 int k=q.front(); 69 q.pop(); 70 cout<<tree[k].key<<endl; 71 if(tree[k].l!=-1) 72 q.push(tree[k].l); 73 if(tree[k].r!=-1) 74 q.push(tree[k].r); 75 } 76 } 77 78 int main() 79 { 80 int i; 81 Init(); 82 for(i=0;i<maxnum;i++) 83 { 84 cin>>a[i]; 85 tree[i].key=a[i]; 86 } 87 88 int root=Build_Tree(); 89 90 //inorder(root); 91 //levelorder(root); 92 return 0; 93 } 94 95 /* 96 3 2 4 5 6 8 1 9 10 7 97 */