論文假設和單目標模型
這部分想講一下Semantic Localization Via the Matrix Permanent這篇文章的一些假設。
待求解的問題可以描述為
假設從姿態\(x\)看到的物體（路標點）集合為\(Y(x)={y_1,...,y_n}\)，觀測為\(Z={z_1,...,z_m}\)。求后驗概率\(p(Z|Y,x)\)。
這里引入數據關聯\(\pi\)表示從物體到測量的一個對應關系，其中即包含正確的配對，也包含錯誤的配對和缺失的配對。
一些假設
作者對目標檢測和數據關聯做了一些基本的假設。
- 每個測量最多對應着一個物體。
- 每個物體\(y\)要么以概率\(p_d(y,x)\)（通過目標檢測算法）得到一個測量，要么以\(1-p_d(y,x)\)的概率沒有檢測到物體。
- 檢測出假陽性（false-positive）的過程（作為一個隨機過程）在時間線上符合泊松分布（均值為\(\lambda\)），在空間上符合概率分布\(p_\kappa(z)\)。
- 假陽性過程和目標檢測過程是相互獨立的，並且所有檢測都獨立於機器人和物體的狀態（state）。
- 每兩個測量都獨立於\(x,Y\)和數據關聯\(\pi\)。
單目標的觀測模型
單目標觀測的概率模型包含三個部分。
- 檢測率模型
- 觀測的似然函數
- 誤檢測率模型
檢測率模型
檢測率模型度量了在\(x\)處檢測到目標\(y\)的概率分布\(p_d(y,x)\)。這里作者假設檢測率在FOV中某個點達到最高值，並以指數下降的速率向四周擴散。
\[p_d(y,x)=p_0\exp(-\frac{\left\vert\mu_0-\parallel y-x\parallel\right\vert}{\sigma_0}), \text{ if } y\in\text{FOV}(x) \]
式中的參數可以通過訓練模型估計。當然，這個概率可以根據經驗自己調整。
觀測的似然函數
觀測模型是指\(p(z|y,x)\)，即在姿態\(x\)處檢測到目標\(y\)時，觀測\(z=(class, score, bearing)=(c,s,b)\)的概率分布。根據鏈式法則，
\[p(z|y,x)=p(s|c,s,b,y,x)p(c|b,y,x)p(b|y,x)=p_s(s|c,y)p_c(c|y)p_b(b|y,x) \]
其中，\(p_c\)是檢測模型的confusion matrix，\(p_s\)是檢測得分的似然函數，最后一個可以從訓練檢測模型的過程中得到。
誤檢測率模型
\(p_{\kappa}(z)\)的分布可通過類似觀測的似然函數的方法得到。或者假設為均勻分布。
\[p_{\kappa}(z) = \frac{1}{\parallel S \parallel \cdot \parallel C \parallel \cdot \parallel B \parallel} \]