一、常數向量范數
- \(L_0\) 范數
\(\Vert x \Vert _0\overset{def}=\)向量中非零元素的個數
其在matlab中的用法：
sum( x(:) ~= 0 )
- \(L_1\) 范數
\(\Vert x \Vert_1\overset{def} = \sum\limits_{i=1}^{m} \vert x_{i}\vert = \vert x_{1}\vert + \cdots +\vert x_{m}\vert\)，即向量元素絕對值之和
其在matlab中的用法：
norm(x, 1)
- \(L_2\) 范數
\(\Vert x \Vert_2=(\vert x_1\vert^2+\cdots+\vert x_m\vert^2)^{1/2}\)，即向量元素絕對值的平方和后開方
其在matlab中的用法：
norm(x, 2)
- \(L_{\infty}\) 范數
- 極大無窮范數
\(\Vert x \Vert_{\infty}= max \{ \vert x_1\vert, \cdots,\vert x_m\vert \}\)，即所有向量元素絕對值中的最大值
其在matlab中的用法：
norm(x, inf)
- 極小無窮范數
\(\Vert x \Vert_{\infty}= min \{ \vert x_1 \vert, \cdots, \vert x_m\vert \}\)，即所有向量元素絕對值中的最小值
其在matlab中的用法：
norm(x, -inf)
二、矩陣范數
誘導范數和元素形式范數是矩陣范數的兩種主要類型。
1. 誘導范數
- \(L_1\) 范數（列和范數）
\(\Vert A \Vert_1= \underset{1\leqslant j\leqslant n}{\mathop{\max }}\sum\limits_{i=1}^{m}\{ \vert a_{ij}\vert \}\)，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值
其在matlab中的用法：
norm(A,1)
- \(L_2\) 范數
\(\Vert A \Vert_2=\sqrt{\lambda _{i}}\)，其中 \(\lambda_i\) 為 \(A^{T}A\) 的最大特征值。
其在matlab中的用法：
norm(A,2)
- \(L_{\infty}\) 范數（行和范數）
\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{1\leqslant i\leqslant m}{\mathop{\max }}\sum\limits_{j=1}^{n}\{\vert a_{ij}\vert\}\)，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值
其在matlab中的用法：
norm(A,inf)
2. "元素形式"范數
- \(L_{0}\) 范數
\(\Vert A \Vert_0\overset{def}=矩陣的非零元素的個數\)
其在matlab中的用法：
sum(sum(A ~= 0))
- \(L_{1}\) 范數
\(\Vert A \Vert_1\overset{def}=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert\)，即矩陣中的每個元素絕對值之和
其在matlab中的用法：
sum(sum(abs(A)))
- \(L_{F}\) 范數
\(\Vert A \Vert_F\overset{def}=(\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert^2)^{1/2}\)，即矩陣的各個元素平方之和后開方
其在matlab中的用法：
norm(A,'fro')
- \(L_{\infty}\) 范數
\(\Vert A \Vert_{\infty}= \underset{i=1,\cdots,m;\ j=1,\cdots,n}{\mathop{\max }}\{\vert a_{ij}\vert \}\)，即矩陣的各個元素絕對值的最大值
其在matlab中的用法：
max(max(abs(A)))
- 核范數
\(\Vert A \Vert_{*}= \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i\)，\(\lambda_i\) 為 \(A\) 的奇異值，即所有矩陣奇異值之和
其在matlab中的用法：
sum(svd(A))
本文作者：@qiuhlee
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