木板切割問題（二）——動態規划

一、問題引入

有一根長度為L(L < 1000)的木棍，還有n(n < 50)個切割點的位置（按照從小到大排列）。你的任務是在這些切割點的位置處把棍子切成n+1份，使得總費用最小。每次切割的費用等於被切割的木棍長度。

二、問題分析

這個問題很像前面的柵欄維修（給定n個木棍的長度，切割點任意），這道題目相當於給定n+1個木棍的長度，且切割點固定。之前的貪心法就不能適用，因為用貪心法需要切割的點不一定是給定的切割點。我們必須換一種思路了。

n的規模非常小，可以考慮枚舉切割點，但直接枚舉所有的切割順序肯定太大，可以考慮動態規划，枚舉切割第一刀的位置。

設d(i,j)為切割小木棍i~j的最優費用，則d(i,j) = min{(d(i,k),d(k,j)) | i < k < j} + a[j] - a[i],其中a[j] - a[i]代表第一刀的費用。

注意，這里i,j都是表示切割點的位置，而不是木棍的序號，這樣比較方便。

三、代碼實現

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxl = 1000 + 10;
const int maxn = 50 + 10;
int L, n, cutp[maxn];
int d[maxn][maxn];    //d[i][j]表示切割小木棍i-->j的最小費用,i,j表示的是切割點，d[0][n + 1]為所求

void slove()
{
    for (int i = n + 1; i >= 0; i--)        //注意循環順序，這里必須是從大到小
        for (int j = i; j <= n + 1; j++)    //這里必須從小到大，這個觀察狀態轉移方程就可以了
        {
            d[i][j] = (i + 1 == j ? 0 : INF);
            for (int k = i + 1; k < j; k++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j] + cutp[j] - cutp[i]);
        }
    printf("The minimum cutting is %d.\n", d[0][n + 1]);
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &L) == 1 && L)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &cutp[i]);

        //左邊界編號為0，右邊界為 n + 1
        cutp[0] = 0; cutp[n + 1] = L;

        slove();
    }
    return 0;
}

四、總結

這種解法，狀態有O(n²),每種狀態有O(n)個決策，時間復雜度為O(n³)。據說可以用四邊形不等式優化到O(n²),以后會了再補充吧。