動態規划實現鋼條切割問題（Java）

動態規划算法的步驟
　　1. 刻畫一個最優解的結構特征；
　　2. 遞歸地定義最優解的值；
　　3. 計算最優解的值；
　　4. 利用計算出的信息，構造一個最優解。

鋼條切割問題描述

　(1)Serling公司購買長鋼條，將其切割為短鋼條出售。不同的切割方案，收益是不同的，怎么切割才能有最大的收益呢？假設，切割工序本身沒有成本支出。 假定出售一段長度為i英寸的鋼條的價格為p i （i=1,2,…）。鋼條的長度為n英寸。如下給出一個價格表P。

　　　　

　　給定一段長度為n英寸的鋼條和一個價格表P，求切割鋼條方案，使得銷售收益 r_n 最大。(如果長度為n英寸的鋼條的價格p n 足夠大，則可能完全不需要切割，出售整條鋼條是最好的收益)

 　　(2)簡單給出一個例子

　　考慮n=4的時候。如圖所示給出4英寸的鋼條可能的切割方案

　　

　　8種切割方案，根據圖中的價格表，可以看書最優策略是方案c(將鋼條切割為兩段長度為2英寸的鋼條--收益為10)

 　　(3)長度為n英寸的鋼條共有2 n-1 中不同的切割方案。

　　 如果一個最優解將總長度為n的鋼條切割為k段，每段的長度為i ,j（1≤j≤k），則有：n=i 1 +i 2 +…+i k

　　 得到的最大收益為：r n =p _i1 +p _i2 +…+p _ik

　　(4)對上述價格表樣例，我們可以觀察出所有最優收益值以及對應的切割方案

　　r1=1; 切割方案1=1(無切割)

　　r2=5; 切割方案2=2(無切割)

　　r3=8; 切割方案3=3(無切割)

　　r4=10; 切割方案4=2+2

　　r5=13; 切割方案5 = 2+3

　　r6=17; 切割方案6=6(無切割)

　　r7=18; 切割方案7=1+6或者7=2+2+3

　　r8=22; 切割方案8=2+6

　　r9=25; 切割方案9=2+6

　　r10=30; 切割方案10=10(無切割)

　　(5)對於長度為n（n≥1）的鋼條，設r n 是最優切割的收益對最優切割，若其首次切割在位置i，鋼條被分成長度為i和n-i的兩段，有：r _n= r _i + r _n-i

　　一般情況，任意切割點j都將鋼條分為兩段，長度分別為j和n-j，1≤j≤n。令r j 和r _n-j 分別是這兩段的最優切割收益，則該切割可獲得的最好收益是：r’ _n = r _j + r _n-j所以有

　　

鋼條切割問題的遞歸求解過程

　(1)鋼條從左邊切割下長度為i的一段，然后只對右邊剩下的長度為n-i的一段繼續進行切割（遞歸求解),這個時候有

　(2)自頂向下的遞歸實現

　　

　(3)但是這種算法在n比較大的情況下效率低，因為總是求解相同的子問題，反復的進行自身遞歸調用。如圖是子問題規模為n=4的情況

　　

　　這棵樹顯示了n=4 的時候的遞歸調用過程，每個結點的標號為對應的子問題規模n。這可遞歸調用數總共有2^n-1個葉節點。

鋼條切割問題的動態規划求解

　　對每個子問題只求解一次，並將結果保存下來。不必重新計算。介紹兩種方法

　(1)帶備忘的自頂向下法

　　按照遞歸的形式編寫，使得子問題的求解只依賴於更小的子問題的解。當需要子問題的解的時候，只需要檢查是否已經保存過值。如果已經保存過，就直接使用，否則按照通常的方式計算解。

　　 下面給出算法的偽代碼

　　這里實現算法(Java)

static int UpDown(int num, int[] arr) {
    if(num == 0) return 0;
    if(result[num] != 0) return result[num];
    
    int temp = 0;
    for (int i = 1; i < num+1; i++) {
        int max = arr[i] + UpDown(num-i, arr);
        if(max > temp) {
            temp = max;
        }
    }
    result[num] = temp; //將計算的長度為n的鋼條切割的長度用數組保存起來
    return temp;
}

 

　(2)自底向上方法

 　　 這種方法一般需要恰當的定義子問題的規模，使得每個子問題的求解只是依賴於更小的子問題，所以可以將子問題按照規模排序，按照由小到大的順序排序。當求解某個子問題的時候，所依賴的那些更小的子問題都已經求解完畢，結果保存了。所以每個子問題只是求解一次。所依賴的前提子問題已經求解完成

 　　給出算法的偽代碼

　　

　　給出算法的具體實現(Java)

static int DownUp(int num, int[] arr) {
    for (int i = 1; i < num + 1; i++) {
        int temp = 0;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            int max = arr[j] + result[i - j];
            if(max > temp) {
                temp = max;
            }
        }
        result[i] = temp;
    }
    return result[num];
}

 Java實現兩種方法

package cn.dp;


/**
 * 動態規划實現實現鋼條切割問題
 *
 */
public class Test1 {

    static int[] result = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
    static int[] s = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
        /*
        System.out.println("自頂向下結果");
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print("r"+ i +"=" + UpDown(i, arr)+"; ");
        }
        */
        /*
        System.out.println("自底向上結果");
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print("r"+ i +"=" + DownUp(i, arr)+"; ");
        }
        */
    }
    
    /**
     * 自頂向下實現
     */
    static int UpDown(int num, int[] arr) {
        if(num == 0) return 0;
        if(result[num] != 0) return result[num];
        
        int temp = 0;
        for (int i = 1; i < num+1; i++) {
            int max = arr[i] + UpDown(num-i, arr);
            if(max > temp) {
                temp = max;
            }
        }
        result[num] = temp; //將計算的長度為n的鋼條切割的長度用數組保存起來
        return temp;
    }
    
    /**
     * 自底向上實現
     */
    static int DownUp(int num, int[] arr) {
        for (int i = 1; i < num + 1; i++) {
            int temp = 0;
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                int max = arr[j] + result[i - j];
                if(max > temp) {
                    temp = max;
                }
            }
            result[i] = temp;
        }
        return result[num];
    }

    /**
     * 打印切割方案
     */
    static int DownUpPrint(int num, int[] arr) {
        for (int i = 1; i < num +1; i++) {
            int temp = 0;
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                int max = arr[j] + result[i - j];
                if(max > temp) {
                    temp = max;
                }
                s[i] = j;
            }
            result[i] = temp;
        }
        return result[num];
    }
}