木板切割問題——貪心

一、問題引入

農夫約翰為了修理柵欄，要將一塊很長的木塊切成N塊。准備切成的長度分別是L1、L2、、、，L_N,未切割前的木板長度切好為切割后木板長度的總和。每次切斷木板時的開銷是這塊木板的長度。（1 ≤ N ≤ 20000，0 ≤ L_i ≤ 50000）

二、解題思路

由於N的值非常大，不可能枚舉所有情況再求解，必須用一種比較高效的算法。木板的切割循序不確定，看似自由度很高，是先選擇切出較短的，還是切較長的。如果我們把一種完全切割后的情況列舉出來，會發現可以用貪心算法

驚奇的發現，這種切法的切割費用之和 == 所有非葉子節點權值和 == 葉子節點的權值 * 深度（根節點深度為0）

即 33 = 15 + 7 + 8 + 3 = 3*2 + 4*2 + 5*2 + 1*3 + 2*3

問題轉化為，已知所有的葉子節點和根節點，求葉子節點的權值 * 深度和的最小值。

顯然，使權值大的深度小，權值小的深度大。於是，此時的最佳切割方法應該具有如下性質：

　　　　最短版和次短板應該是兄弟節點

這一性質在切割過程中始終成立，反過來，我們可以根據這種性質建立起對應的二叉樹。即每次合並最小的，合並后的值加到總費用中。（注意建立的樹不唯一，但每種的結果一樣，所以選其中一種就行）

由於是每次取最小和次小合並，維護一個優先隊列就行

三、代碼實現

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 20000 + 10;
int n, L[maxn];

void slove()
{
    LL ans = 0;

    //聲明一個小值在前的優先隊列
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>que;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        que.push(L[i]);

    //循環到只剩一塊模板為止
    while (que.size() > 1)
    {
        //取出最短的木板和次短的木板
        int len1, len2;
        len1 = que.top(); que.pop();
        len2 = que.top(); que.pop();

        ans += (len1 + len2);
        que.push(len1 + len2);
    }
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    while (scanf("%d",&n) == 1)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &L[i]);
        slove();
    }
    return 0;
}

四、總結

這個題運用了很多哈夫曼樹的思想，下一篇文章再討論吧。