多源最短路——Floyd算法

Floyd算法

 問題的提出：已知一個有向網（或者無向網），對每一對定點vi!=vj，要求求出vi與vj之間的最短路徑和最短路徑的長度。

解決該問題有以下兩種方法：

（1）輪流以每一個定點為源點，重復執行Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法n次，就可以求出每一對頂點之間的最短路徑和最短路徑的長度，總的時間復雜度為O(n^3)。

（2）采用Floyd算法，時間復雜度也是O(n^3)，但是形式更為直接。

 

1.介紹

　　floyd算法只有五行代碼，代碼簡單，三個for循環就可以解決問題，所以它的時間復雜度為O(n^3)，可以求多源最短路問題。

2.思想：

　　Floyd算法的基本思想如下：從任意節點A到任意節點B的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從A到B，2是從A經過若干個節點X到B。所以，我們假設Dis(AB)為節點A到節點B的最短路徑的距離，對於每一個節點X，我們檢查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，證明從A到X再到B的路徑比A直接到B的路徑短，我們便設置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點X，Dis(AB)中記錄的便是A到B的最短路徑的距離。

舉個例子：已知下圖，

　　如現在只允許經過1號頂點，求任意兩點之間的最短路程，只需判斷e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是從i號頂點到j號頂點之間的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是從i號頂點先到1號頂點，再從1號頂點到j號頂點的路程之和。其中i是1~n循環，j也是1~n循環，代碼實現如下。

for(i=1; i<=n; i++)
{
    for(j=1; j<=n; j++)
    {
        if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] )
            e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];
    }
}

 

接下來繼續求在只允許經過1和2號兩個頂點的情況下任意兩點之間的最短路程。在只允許經過1號頂點時任意兩點的最短路程的結果下，再判斷如果經過2號頂點是否可以使得i號頂點到j號頂點之間的路程變得更短。即判斷e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代碼實現為如下。

//經過1號頂點
for(i=1; i<=n; i++)
    for(j=1; j<=n; j++)
        if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) 
            e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
//經過2號頂點
for(i=1; i<=n; i++)
    for(j=1; j<=n; j++)
        if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j])  
            e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];

 

最后允許通過所有頂點作為中轉，代碼如下：

  for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心語句
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                {
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                }
            }
        }
    }

這段代碼的基本思想就是：最開始只允許經過1號頂點進行中轉，接下來只允許經過1和2號頂點進行中轉……允許經過1~n號所有頂點進行中轉，求任意兩點之間的最短路程。與上面相同

 

3.代碼模板：

#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[1000][1000];
int main()
{
    int k,i,j,n,m;///n表示頂點個數，m表示邊的條數
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=1; i<=n; i++)///初始化
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
        }
    }
    int a,b,c;
    for(i=1; i<=m; i++)///有向圖
    {
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        map[a][b]=c;
    }
    for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心語句
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                {
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                }
            }
        }
    }
    for(i=1; i<=n; i++)///輸出最終的結果,最終二維數組中存的即使兩點之間的最短距離
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            printf("%10d",map[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}