經典的多源最短路徑算法——Floyd

　　Floyd算法是經典的求算多源最短路徑的算法，它的實質還是一種動態規划思想的應用。

 

一、Floyd算法的實現思想

Floyd算法是如何實現的呢，我下面做簡單說明：
　　我們要求算i,j兩點間的最短距離，首先我們引入一個中間點k，看看從i到j有沒有一條經過k的通路（即i→k→j），如果有這么一條路，那么我們將目前的從i到j的距離，與從i到k再到j的距離相比較，小的那一個更新為新的從i到j的最短路。
那么用dp寫出它的狀態轉移方程有：

　　

那么在代碼里我們要怎樣來實現呢？
首先需要一個矩陣來儲存各個點的關系，對於下面一個圖，我們可以得到相應的關系矩陣（數字代表由i到j的路徑長度，INF代表目前無法連通）：

其中第i行第j列就代表從點i到點j的距離。
然后我們需要三層循環，最外層k遍歷中間點，里面為i，j遍歷矩陣，結合狀態轉移方程得到Floyd算法的核心代碼：

void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k][j])
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j];
            }
}

顯然我們可以從代碼里看出，該算法的時間復雜度為O()。

下面我們用上面的例子來模擬一下。
首先令k=1，開始遍歷i，j，對於第(i,j)個關系來說，我們要把它本身的值和第i行第k個、第j列第k個的值的和相比較，取小的作為新的值。如下圖

對於第2行第5列的值來說，它的新的值是第2行第1個值和第5列第1個值的和。按照同樣的方法我們把k=1的遍歷走完

然后我們令k=2再開始遍歷

同理，對於第1行第3列的值來說，它的新的值是第1行第2個值和第3列第2個值的和。然后我們把k=2的情況遍歷完

然后我們接着把k=3,4,5…全部遍歷完，得到我們的最短路的矩陣

Floyd算法可以求解大多數情況，但是注意Floyd算法無法求解有負權回路的狀況，如

對於這個回路來說，它每進行一次循環，最短路就會減少1，所以永遠也找不到最短路。

 

二、Floyd算法的正確性

（施工中orz）

 

三、Floyd算法的其他應用

 

1.求解傳遞閉包

將Floyd算法稍作修改便可以得到求解傳遞閉包的代碼：

void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(k=1;k<=n;k++) 
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(matrix[i][k]&&matrix[k][j])
                    matrix[i][j]=1;
}

若有會Warshall算法求傳遞閉包的朋友便會發現Floyd算法和Warshall算法高度相似！

相關題目：ZOJ P4124

代碼：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n,m,matrix[105][105],num[2][105],flag=0;

void floyd()
{
    int i,j,k;

    for(k=1;k<=n;k++)      //floyd
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(matrix[i][k]&&matrix[k][j])
                    matrix[i][j]=1;

    for(i=1;i<=n;i++)      //判斷是否有自環
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(matrix[i][j]&&matrix[j][i])
            {
                flag=1;
                return;
            }

    for(i=1;i<=n;i++)    //維護更新num數組
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(matrix[i][j])
            {
                num[0][i]++;
                num[1][j]++;
            }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int i,a,b;

        memset(matrix,0,sizeof(matrix));    //初始化
        memset(num,0,sizeof(num));
        flag=0;

        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=0;i<m;i++)    //預處理
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            matrix[a][b]=1;
        }
        floyd();
        if(flag==0)    //輸出，當一個數比它大的和比它小的都小於n/2時，可視為該項為中間項
        {
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
                if(num[0][i]<=n/2&&num[1][i]<=n/2) printf("1");
                else printf("0");
            }
            printf("\n");
        }
        else
        {
            for(i=0;i<n;i++) printf("0");
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

（用Floyd算法解此題算是一個比較巧妙的解法）

 

四、相關題目

 

1.例題 Luogu P2910

代碼：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int matrix[105][105],n;

void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                matrix[i][j]=min(matrix[i][j],matrix[i][k]+matrix[k][j]);
            }
}


int main()
{
    int i,j,m,order[10005]={0},ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=0;i<m;i++) scanf("%d",&order[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&matrix[i][j]);
    floyd();
    for(i=0;i<m-1;i++)
        ans+=matrix[order[i]][order[i+1]];
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

 

Author : Houge　　Date : 2019.6.1

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