Floyd算法
所有頂點對之間的最短路徑問題是：對於給定的有向網絡G=(V,E)，要對G中任意兩個頂點v,w(v不等於w),找出v到w的最短路徑。當然我們可以n次執行DIJKSTRA算法，用FLOYD則更為直接，兩種方法的時間復雜度都是一樣的。
1.定義概覽
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N3)，空間復雜度為O(N2)。
2.算法描述
1)算法思想原理：
Floyd算法是一個經典的動態規划算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規划的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規划最富創造力的精華所在）
從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。
2).算法描述：
a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
以下面的有向網絡為例：
1 #include<stdio.h>
2 #define n 5 //結點數目
3 #define maxsize 160 //表示兩點間不可達
4 int path[n][n];//路徑矩陣
5 void floyd(int A[][n],int C[][n]); //A是路徑長度矩陣，C是有向網絡G的帶權鄰接矩陣
6 void main() 7 { 8 printf(" ——所有頂點對之間的最短路徑：Floyd算法——\n"); 9 printf("（160為無窮遠，不可達）\n"); 10 int A[n][n],C[n][n]={ 11 {0,10,maxsize,30,100}, 12 {maxsize,0,50,maxsize,maxsize}, 13 {maxsize,maxsize,0,maxsize,10}, 14 {maxsize,maxsize,20,0,60}, 15 {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,0} 16 }; 17 floyd(A,C); 18 } 19 void floyd(int A[][n],int C[][n]) //A是路徑長度矩陣，C是有向網絡G的帶權鄰接矩陣
20 { 21 int i,j,k,next; 22 int max=160; 23 for(i=0;i<n;i++)//設置A和path的初值
24 { 25 for(j=0;j<n;j++) 26 { 27 if(C[i][j]!=max) 28 path[i][j]=j; //j是i的后繼
29 else
30 path[i][j]=0; 31 A[i][j]=C[i][j]; 32 } 33 } 34 for(k=0;k<n;k++) 35 //做n次迭代，每次均試圖將頂點k擴充到當前求得的從i到j的最短路徑Pij上
36 { 37 for(i=0;i<n;i++) 38 { 39 for(j=0;j<n;j++) 40 { 41 if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])) 42 { 43 A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; //修改長度
44 path[i][j]=path[i][k]; //修改路徑
45 } 46 } 47 } 48 } 49 for(i=0;i<n;i++)//輸出所有頂點對i,j之間的最短路徑Pij的長度及路徑
50 { 51 for(j=0;j<n;j++) 52 { 53 if(i!=j) 54 { 55 printf("%d到%d的最短距離為",i+1,j+1); 56 printf("%d\n",A[i][j]); //輸出Pij的長度
57 next=path[i][j]; //next為起點i的后繼頂點
58 printf("輸出路徑：\n"); 59 if(next==0) 60 printf("%d到%d不可達\n",i+1,j+1); 61 else//Pij存在
62 { 63 printf("%d",i+1); 64 while(next!=j) 65 { 66 printf("——>%d",next+1); //打印后繼點
67 next=path[next][j]; //繼續找下一個后繼點
68 } 69 printf("——>%d\n",j+1); //打印終點
70 } 71 printf("****************************************************\n"); 72 } 73 } 74 } 75 } 76
77
78 運行結果： 79 ——所有頂點對之間的最短路徑：Floyd算法—— 80 （160為無窮遠，不可達） 81 1到2的最短距離為10 82 輸出路徑： 83 1——>2
84 ****************************************************
85 1到3的最短距離為50 86 輸出路徑： 87 1——>4——>3
88 ****************************************************
89 1到4的最短距離為30 90 輸出路徑： 91 1——>4
92 ****************************************************
93 1到5的最短距離為60 94 輸出路徑： 95 1——>4——>3——>5
96 ****************************************************
97 2到1的最短距離為160 98 輸出路徑： 99 2到1不可達 100 ****************************************************
101 2到3的最短距離為50 102 輸出路徑： 103 2——>3
104 ****************************************************
105 2到4的最短距離為160 106 輸出路徑： 107 2到4不可達 108 ****************************************************
109 2到5的最短距離為60 110 輸出路徑： 111 2——>3——>5
112 ****************************************************
113 3到1的最短距離為160 114 輸出路徑： 115 3到1不可達 116 ****************************************************
117 3到2的最短距離為160 118 輸出路徑： 119 3到2不可達 120 ****************************************************
121 3到4的最短距離為160 122 輸出路徑： 123 3到4不可達 124 ****************************************************
125 3到5的最短距離為10 126 輸出路徑： 127 3——>5
128 ****************************************************
129 4到1的最短距離為160 130 輸出路徑： 131 4到1不可達 132 ****************************************************
133 4到2的最短距離為160 134 輸出路徑： 135 4到2不可達 136 ****************************************************
137 4到3的最短距離為20 138 輸出路徑： 139 4——>3
140 ****************************************************
141 4到5的最短距離為30 142 輸出路徑： 143 4——>3——>5
144 ****************************************************
145 5到1的最短距離為160 146 輸出路徑： 147 5到1不可達 148 ****************************************************
149 5到2的最短距離為160 150 輸出路徑： 151 5到2不可達 152 ****************************************************
153 5到3的最短距離為160 154 輸出路徑： 155 5到3不可達 156 ****************************************************
157 5到4的最短距離為160 158 輸出路徑： 159 5到4不可達 160 ****************************************************
參考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_686d0fb001012r05.html
http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html