博弈論模型總結

博弈論五大模型

前四大模型的深入理解

Bash博弈模型

有一堆數量為n的石頭，雙方輪流每次從堆中取至少1個石頭最多m個石頭，誰先取完誰贏。

設存在整數k和r使方程n=k*(m+1)+r成立,當r==0時先手必敗，否則先手必贏。

結論：n%(m+1) == 0, 先手必敗

Wythoff博弈模型

有兩堆數量分別為x、y(x <= y)的石頭，每次可以從一堆中取至少一個石頭或者從兩堆中取同等數量的石頭，誰先取完誰贏。

結論：x == floor( (sqrt(5)+1)/2 )*(y-x), 滿足等式時先手必敗

Nim博弈模型

有任意m堆、數量任意的石頭，每次只能從一堆中獲取至少1個石頭，誰先取完誰贏

設石頭堆Di，Di的異或和k = D1^D2^...^Di，當且僅當k == 0時先手必敗，否則先手必贏

結論：D1^D2^...^Di == 0, 先手必敗

Fibonacci博弈模型

有一堆數量為n的石頭，雙方輪流從石頭堆里取k[i]個石頭(1≤k[i]≤2*k[i-1])，先取完的人獲勝

當且僅當n不是斐波那契數時，先手必勝，否則先手必敗

結論：Fib(n) == false, 先手必勝

SG函數

對sg函數的深入理解

定義： P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
______ N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
定義：設mex{S}為集合S中第一個不存在的正整數
定義：設sg(x)為x狀態的sg值，sg(x)=mex{S}，其中S為x的后繼狀態的sg值的集合
當sg(x) == 0時， 沒有獲勝局面，此時處於P點
性質：1、所有終結點的sg值都為0，即sg(0) == 0
______2、無論在N點如何操作，都至少存在一種情況進入P點
______3、無論如何，P節點的后繼節點一定是N節點
______4、無論如何只能進入N點的點一定是P點

例題：HDU 1848：Fibonacci again and again

題解：假設只有一堆數量為n的石子

定義sg(x)函數為當前石子數量的sg函數，每次只能取Fib[]數列的數

sg[0] = 0, Fib[] = {1,2,3,5...}

當x == 1時，可以取Fib[1]個石子，剩余0個石子，sg[1] = mex{sg[0]} = mex{0} = 1;

當x == 2時，可以取Fib[2]、Fib[1]個石子，剩余1、0個石子sg[2] = mex{sg[1],sg[0]} = mex{0,1} = 2;

當x == 3時，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]個石子，剩余2、1、0個石子，sg[3] = mex{sg[2],sg[1],sg[0]} = mex{2,1,0} = 3;

當x == 4時，可以取Fib[3]、Fib[2]、Fib[1]個石子，剩余3、2、1個石子，sg[4] = mex{sg[3],sg[2],sg[1]} = mex{3,2,1} = 0;

......

當x == n時，若sg[n] != 0，先手必勝

對於多堆石子，類比Nim游戲：

sg[n]^sg[m]^sg[k] == 0, 先手必敗

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<string>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define rep(i, a, b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define sz(a) (int)a.size()
#define de(a) cout<<#a<<" = "<<a<<endl
#define dd(a) cout<<#a<<" = "<<a<<" "
#define be begin
#define en end
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
const int N = 1005;
vi f;
void fib(){
	f.pb(1), f.pb(1);
	for(int i = 1;f[i] < N;i++){
		f.pb(f[i]+f[i-1]);
	}
	f.erase(f.begin());
}
int sg[N];
void SG(){
	vi::iterator it;
	sg[0] = 0;
	for(int i = 1;i < N;i++){
		set<int> q;
		for(it = f.begin();it != f.end() && *it <= i;it++){
			q.insert( sg[i-(*it)] );
		}
		set<int>::iterator sit = q.begin();
		int t = 0;
		for(;sit != q.end();sit++){
			if(t < *sit) {
				break;
			}
			else
				t = *sit+1;
		}
		sg[i] = t;
	}
}
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
	fib();
	SG();
	int m,n,p;
	while(cin >> m >> n >> p){
		if(m == 0) break;
		if((sg[m]^sg[n]^sg[p]) == 0) cout << "Nacci" << endl;
		else cout << "Fibo" << endl;
	}
	return 0;
}