開頭先啰嗦一句：想學好博弈，必然要花費很多的時間，深入學習，不要存在一知半解，應該是一看到題目，就想到博弈的類型。
以及，想不斷重復不斷重復，做大量各大oj網站的題目，最后吃透它。
博弈：
博弈論又被稱為對策論（Game Theory），既是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。
博弈，具體的例子就是下棋，雙方都考慮最有利於自已的步驟，但是最終必有一方輸，一方贏。
博弈的策略：參與者在行動之前所准備好的一套完整的行動方案，就是想好下完這步棋，對方會如何下，
以及接下來該如何下，最終得出結果。
常見的博弈有以下：
1.博弈：合作博弈和非合作博弈
合作博弈：指參與者能夠達成一種具有約束力的協議，在協議范圍內選擇有利於雙方的策略
非合作博弈：指參與者無法達成這樣一種協議
2.博弈：靜態博弈和動態博弈
靜態博弈：指在博弈中，參與者同時選擇，或雖非同時選擇，但是在邏輯時間
上是同時的。（期末老師評分與同學給老師評分）
動態博弈：指在博弈中，參與者的行動有先后順序，且后行動者能夠觀察
到先行動者的行動。（下棋）
3.博弈：完全信息博弈與不完全信息博弈
完全信息博弈：指在博弈中，每個參與者對其他參與者的類型，策略空間及損益函數都有准確的信息。（賣家與買家）
不完全信息博弈:總有一些信息不是所有參與者都知道的
4.博弈：零和博弈與非零和博弈
零和博弈：指博弈前的損益總和與博弈后的損益總和相等
非零和博弈：指博弈后的損益大於（小於）博弈前的損益總和（正和或負和 ）
下面我主要講一些關於算法比賽中用到的博弈類型：
首先你要理解必勝狀態和必敗狀態：
對下先手來說，
一個狀態是必敗狀態當且僅當它的所有后繼都是必敗狀態。
一個狀態是必勝狀態當且僅當它至少有一個后繼是必敗狀態。
就是說，博弈者，一旦捉住了勝利的把柄，必然最后勝利。
博弈中常常用到的：
兩個數，不用中間變量實現交換。
a b;
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
巴什博弈：
百度百科：
巴什博弈：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物， 規定每次至少取一個，最多取m個。最后取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那么由於一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，后取者都能夠一次拿走剩余的物品，后者取勝。因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數，s≤m),那么先取者要拿走s個物品，如果后取者拿走k（≤m)個，那么先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r-1）個，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最后獲勝。這個游戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。對於巴什博弈，那么我們規定，如果最后取光者輸，那么又會如何呢？（n-1）%（m+1）==0則后手勝利
請去刷下面的題目，均是巴什博弈
算博弈題目時，一定要算到一個周期結束，防止出錯，很有可能像HDU2897那樣。中途錯的猝不及防
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int n = cin.nextInt(); PLG(n); } } static void PLG(int n) { if(n%3 == 0) { System.out.println("Cici"); } else { System.out.println("Kiki"); } } }
import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int n = cin.nextInt(); int m = cin.nextInt(); if(n == 0 && m == 0) { return; } PLG(n,m); } } static void PLG(int n,int m) { if(n%2 == 0 || m % 2 == 0) { System.out.println("Wonderful!"); } else { System.out.println("What a pity!"); } } }
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int m = cin.nextInt(); int n = cin.nextInt(); PLG(m,n); } } static void PLG(int m,int n) { if(m % (n+1) == 0) { System.out.println("none"); } else { if(m <= n) { for(int i = m; i <= n; i++) { if(i!= m) { System.out.print(" "); } System.out.print(i); } System.out.println(); } else { int flag = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { if((m-i)%(n+1) == 0) { if(flag == 0) { System.out.print(i); } else { System.out.print(" " + i); } flag++; } } System.out.println(); } } } }
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); int C = cin.nextInt(); while(C != 0) { int n = cin.nextInt(); int m = cin.nextInt(); PLG(n,m); C--; } } static void PLG(int n,int m) { if(n <= m) { System.out.println("Grass"); } else { if(n % (m+1) == 0) { System.out.println("Rabbit"); } else { System.out.println("Grass"); } } } }
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int n = cin.nextInt(); int p = cin.nextInt(); int q = cin.nextInt(); PLG(n,p,q); } } static void PLG(int n,int p,int q) { if(n < p+q) { if(n <= p) { System.out.println("LOST"); } else { System.out.println("WIN"); } } else if(n%(p+q) == 0) { System.out.println("WIN"); } else//有坑 { if(n % (p+q) > p) System.out.println("WIN"); else System.out.println("LOST"); } } }
威佐夫博弈：
一定要去百度百科上面，先理解透意思。
下面是一些威佐夫博弈的總結：
設當前局勢為(a,b）； a <= b
①a==b：同時從兩堆取走a個石子，轉化為(0,0)
②a==a[k]&&b>b[k]：從第二堆取走b−b[k]個石子，轉化為(a,b[k])
③a==a[k]&&b<b[k]：同時從兩堆取走a−a[b−a]個石子，轉化為(a[b−a],b−a+a[b−a])
④a>a[k]&&b==b[k]：從第一堆取走a−a[k]個石子，轉化為(a[k],b)
⑤a<a[k]&&b==b[k]：若a==a[j] (j<k)，則從第二堆取走b−b[j]個石子，轉化為(a,b[j])；
否則必有a==b[j](j<k)a==b[j](j<k)，則從第二堆取走b−a[j]b−a[j]個石子，轉化為(a[j],a)
例如5 8 ，5>a(8-5)=a3=4 8>b(8-5)=b3=7 從兩堆中取走a-a(b-a)=5-4=1個，變成奇異局勢(4,7)。
例如4 6 ，4>a(6-4)=a2=3 6>b(6-4)=b2=5 從兩堆中取走a-a(b-a)=4-3=1個，變成奇異局勢(3,5)。
可以理解成變成差為b-a的奇異局勢。
如果a=bk並且b-a!=k，則從b堆中取走b-ak個，變成奇異局勢(ak，bk).
例如，5 10 ，5=b2 10-5=5!=2 則從10中取走10-a2=10-3=7個，變成奇異局勢(3,5)。
為什么要b-a!=k呢？例如7 10 ， 7=a3，10-7=3=k 也可以變成奇異局勢(4,7)。但這已經在4）判斷過了。
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { static final double mid = (Math.sqrt(5)+1)/2; public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int a = cin.nextInt(); int b = cin.nextInt(); int MAX = Math.max(a, b); int MIN = Math.min(a, b); int temp = (int) ((MAX-MIN)*mid); if(temp == MIN) { System.out.println("0"); } else { System.out.println("1"); } } } }
HDU2177的代碼實現如下：巧妙暴力，分情況太麻煩了。
package Combat.com;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main
{
static final double MID = (Math.sqrt(5)+1)/2;
public static void main(String []args)
{
Scanner cin = new Scanner(System.in);
while(cin.hasNext())
{
int a = cin.nextInt();
int b = cin.nextInt();
if(a == 0 && b == 0)
{
return;
}
WTFGame(a,b);
}
}
static void WTFGame(int a,int b)
{
int temp = (int) ((b-a)*MID);
if(temp == a)
{
System.out.println("0");
}
else
{
System.out.println("1");
for(int i = 1; i <= a; i++)//先取同樣石子
{
int n = a-i;
int m = b-i;
temp = (int) ((m-n)*MID);
if(temp == n)
{
System.out.println(n + " " + m);
}
}
for(int i = a-1; i >=0; i--)//從最小堆單取；
{
temp = (int) ((b-i)*MID);
if(temp > i)//因為a越小，temp就越大，永遠不可能等。
{
break;
}
}
for(int i = b-1; i >= 0; i--)//從最大堆單取
{
int n = a;
int m = i;
if(n > m)
{
int t = a;
n = m;
m = t;
temp = (int)((m-n)*MID);
if(temp > n)//這里充當優先，當條件滿足，無需進行下去了。
{
break;
}
}
temp = (int) ((m-n)*MID);
if(temp == n)
{
System.out.println(n + " " + m);
}
}
}
}
}
尼姆博弈（Nimm Game）：
尼姆博弈指的是這樣一個博弈游戲： 有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件， 取到最后一件物品的人獲勝。
百度百科：
結論就是：把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值為0，那么先手必敗，否則先手必勝。
代碼實現如下;
package Combat.com; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner; public class Main { static final int MAX = 200005; static int array[] = new int[MAX]; public static void main(String []args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while(cin.hasNext()) { int m = cin.nextInt(); if(m == 0) { return; } int sum = 0;//異或的結果 for(int i = 0; i < m; i++) { array[i] = cin.nextInt(); sum = sum^array[i]; } NIMGame(sum,m); } } static void NIMGame(int sum,int k) { if(sum == 0)//代表面臨奇異情況，必輸 { System.out.println("No"); return; } else { System.out.println("Yes"); for(int i = 0; i < k; i++)//勝的第一次取法， { int s = sum^array[i];//結果s相當於,sum沒與array[i]異或。 if(s < array[i]) { System.out.println(array[i] + " " + s); } } } } }
階梯博弈：
具體意思，參照下面網址：https://www.cnblogs.com/jiangjing/p/3849284.html