這里用文氏圖（Venn diagram）來推導一下貝葉斯定理。
假設A和B為兩個不相互獨立的事件。
交集（intersection）： 
上圖紅色部分即為事件A和事件B的交集。
並集（union）： 
由Venn diagram可以看出，在事件B已經發生的情況下，事件A發生的概率為事件A和事件B的交集除以事件B：
同理，在事件A已經發生的情況下，事件B發生的概率為事件A和事件B的交集除以事件A：
注：
表示 A，B 事件同時發生的概率，如果 A 和 B 是相互獨立的兩個事件，那么：
。
由上面的公式可以得到：
然后，我們就可以得到貝葉斯定理：
其中： 
是先驗概率（prior probability），
是條件概率（conditional probability），
是后驗概率（posterior probability）。是聯合概率（joint probability），通常寫成P(A,B)。
注：條件概率 P(B|A) ---> 給定事件A，事件B發生的概率（probability of event B occuring given event A）。
又根據Law of Total Probability： 
注：
表示事件A不發生的概率。
這個可以用probability tree來幫助理解一下：
因此，貝葉斯定理可以擴展為： 
貝葉斯定理通常用於由已知的先驗概率和條件概率，推算出后驗概率。
舉一個簡單的例子：某地平時下雨的概率是0.3，小明平時帶傘的概率是0.4，小明下雨天帶傘的概率是0.8。某一天小明帶了傘，請問這天下雨的概率是多少？
解答：也就是需要求P(下雨|小明帶傘)，把上面的數字代入公式即：
這個例子的先驗概率是平時下雨的概率0.3，由於我們已知小明帶了傘這一信息，因此我們可以估算出后驗概率，也就是當天下雨的概率是0.6。
先驗概率是怎么得來的呢？通常是人們的經驗總結或者說是估算，比如說某地一個月里面下了3天雨，我們就估算某地平時下雨的概率是0.3。
如果條件不止一個呢？讓我們把上面的例子改一下：某地平時下雨的概率是0.3，平時刮風的概率是0.4，下雨天刮風的概率是0.6，小明平時帶傘的概率是0.4，小明下雨天帶傘的概率是0.8。某一天小明帶了傘，且當天在刮風，請問這天下雨的概率是多少？
解答：也就是需要求P(下雨|小明帶傘，刮風)，把上面的數字代入公式即：
注：這里假設小明帶傘和刮風之間沒有關聯，兩條件互不影響（條件獨立假設），因此屬於朴素貝葉斯的范疇。
長久以來，人們信奉的是頻率主義。比如把一枚硬幣拋10000次，有5000次正面朝上，5000次反面朝上，那么我們就可以得知拋這枚硬幣，其正面朝上的概率是0.5。通常，我們需要某一事件發生足夠多的次數，我們才可以觀察到它的規律。
在現實生活中，很多事件並不會在相對較短的時間內多次發生。這時候，貝葉斯定理就發揮作用了。比如說我們想知道刮風天下雨的概率是多少，我們不用等10000個刮風天，看其中有幾天下了雨。我們只需要估算出下雨天會刮風的概率，平時下雨的概率，平時刮風的概率，就可以估算出刮風天會下雨的概率是多少了。先驗概率估算得不准確並沒有關系，人們可以通過未來事件的發生情況，不斷對后驗概率做出調整。