據說這倆是小學奧數內容？完了我菜成一團沒上過小學
本文只研究正整數\(A\)的約數個數和約數和。首先對\(A\)分解質因數
\[A=\prod_i^n p_i^{a_i} \ (p_i是質數) \]
約數個數定理
先看結論
\[num=\sum_i^n (a_i+1) \]
考慮對於\(A\)的任意一個約數\(a\)，都顯然存在唯一的數列\(a'\)使
\[a=\prod_i^n p_i^{a'_i} \ (0 \leq a'_i \leq a_i) \]
由唯一分解定理得，每一個符合條件的數列\(a'\)都對應\(A\)的一個約數，反之亦然。由乘法原理得共有\((a_1+1)*(a_2+1)...*(a_n+1)\)種數列\(a'\)，得證。
約數和定理
同樣先看結論：
\[sum=\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{a_i}p_i^j \]
首先考慮\(n=1\)的情況，即\(A=p^a \ (p是質數)\)，顯然約數和是\(\sum_{i=0}^{a}p^i\)
當\(n>1\)，如果已知了\(x=A/{p_n^{a_n}}\)的約數和\(sum'\)，如何求\(A\)的約數和\(sum\)呢？
顯然，給每個\(x\)的約數\(x'\)均乘上每一個\(p_n^i \ (0 \leq i \leq a_n)\)，就構成了\(A\)的約數集合。那么就得到
\[sum=\sum \left(x'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i\right) \]
由乘法分配律得到
\[sum=sum'*\sum _{i=0}^{a_n}p_n^i \]
又由當\(n=1\)時\(sum=\sum_{i=0}^{a}p^i\)遞推得到最終的結論。