線性篩法在數論中起着至關重要的作用，對於一部分求解有關積性函數的問題可以大大降低時間復雜度。線性篩法中，除了線性篩質數，所要篩的函數必須是積性函數，而線性篩這些函數的基礎也是線性篩質數。先來解釋一下什么是積性函數？積性函數就是指對於一個函數f，f(1)=1且對於任意兩個互質的數x,y滿足f(x)*f(y)=f(x*y)。而如果任意兩個數x,y都滿足以上等式，那么這個函數就是完全積性函數。
常見且實用的積性函數有：
1、l(x)=1，也叫單位函數，卷積單位元
2、id(x)=x
3、Φ(x)，歐拉函數，1~x中與x互質的數的個數
4、μ(x)，莫比烏斯函數，當x=1時，函數值為1；當x為k個質數的一次冪乘積時，函數值為(-1)k；其他情況為0
下面進入正題：
為了方便描述，設f[]為對應積性函數，p[]為存質數的數組，p[j]是i的最小質因子,prime[j]與p[j]同義
一、歐拉函數
1、性質
- 若p為質數，則Φ(p)=p-1
- 若x與y互質，則Φ(x*y)=Φ(x)*Φ(y)
- 若n為奇數，則Φ(2n)=Φ(n),(其實就是上一個性質的特殊情況)
- 若n為質數p的k次冪，則Φ(n)=(p-1)*pk-1，(除p的倍數外都與n互質)
- Σd|nΦ(d)=n
2、線性篩
當i為質數時，f[i]=i-1
當i%p[j]!=0時，i與p[j]互質，f[i*p[j]]=f[i]*(p[j]-1)
當i%p[j]==0時，設ak為i的一個質因子，Φ(i)=i*Π((ak-1)/ak)，因此f[i*p[j]]=p[j]*f[i]
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[10000010];
int n;
int f[10000010];
int prime[1000000];
int cnt;
void find()
{
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
f[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
f[i*prime[j]]=prime[j]*f[i];
break;
}
else
{
f[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*f[i];
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
find();
}
二、莫比烏斯函數
1、性質
- Σd|nμ(d)=ε(n)，當n=1時，ε(n)=1；當n≠1時，ε(n)=0，(莫比烏斯反演用到的重要性質)
2、線性篩
當i為質數時，f[i]=-1
當i%p[j]!=0時，說明i中沒有p[j]，那么f[i*p[j]]=-f[i]
當i%p[j]==0時，f[i*p[j]]=0
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[10000010];
int n;
int f[10000010];
int prime[1000000];
int cnt;
void find()
{
f[1]=1
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
f[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
f[i*prime[j]]=0;
break;
}
else
{
f[i*prime[j]]=-f[i];
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
find();
}
三、約數個數函數
1、性質
對於任意一個大於1的正整數n都能質因數分解為n=p1a1*p2a2*……*pkak，f(n)=(1+a1)*(1+a2)*……*(1+ak)
2、線性篩
因為每個數由它最小的質因子篩出，因此要開一個輔助數組d[i]表示i最小質因子的次冪
當i為質數時，f[i]=2,d[i]=1
當i%p[j]!=0時，由於是積性函數,f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]=2*f[i],d[i]=1
當i%p[j]==0時,根據性質可知f[i*prime[j]]=f[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2),d[i*prime[j]]=d[i]+1
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[10000000];
int n;
int f[10000000];
int prime[10000000];
int d[10000000];
int cnt;
void find()
{
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
f[i]=2;
d[i]=1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
f[i*prime[j]]=f[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2);
d[i*prime[j]]=d[i]+1;
break;
}
else
{
f[i*prime[j]]=2*f[i];
d[i*prime[j]]=1;
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
find();
}
四、約數和函數
1、性質
對於任意大於1的正整數質因數分解，n=p1a1*p2a2*……*pkak
f(n)=(1+p11+p12+……+p1a1)*(1+p21+p22+……+p2a2)*……*(1+pk1+pk2+……+pkak)
2、線性篩
設d[i]表示i最小質因子的各次冪之和
當i為質數時，f[i]=i+1,d[i]=i+1
當i%p[j]!=0時，f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]],d[i*p[j]]=1+p[j]，積性函數性質
當i%p[j]==0時，d[i*p[j]]=d[i]*p[j]+1,f[i*p[j]]=f[i]/d[i]*d[i*p[j]]
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
bool vis[10000000];
int n;
ll f[10000000];
int prime[10000000];
ll d[10000000];
int cnt;
void find()
{
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
f[i]=i+1;
d[i]=i+1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
d[i*prime[j]]=d[i]*prime[j]+1;
f[i*prime[j]]=f[i]/d[i]*d[i*prime[j]];
break;
}
else
{
f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
d[i*prime[j]]=1+prime[j];
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
find();
}
總結：
線性篩積性函數的方法一般都相同，都是利用積性函數互質可相乘的性質來篩。
具體說一下方法：
- 首先需要一個數組g[i]存i最小質因子的最高次冪的乘方，所要篩的積性函數還是用f[i]來表示，p[j]表示i的最小質因子。
- 當i為質數時，直接求就好了。
- 當i%p[j]!=0時，由積性函數性質直接相乘->f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]，d[i*prime[j]]=prime[j]
- 當i%p[j]==0時，這時設t=i/d[i]，t就與p[j]互質了，i*prime[j]=t*prime[j]*d[i],f[i*prime[j]]=f[t]*f[prime[j]*d[i]],d[i*prime[j]]=d[i]*prime[j]
- 但當i=pk形式的數時，這么做是不行的，我們就只能暴力求了。