約數個數定理:
約數個數=\(\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)\)
證明：
由唯一分解定理\(n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}\)可得:
\(n\)的約數一定是 \(p_1^{x} ... p_k^{z}\) \(x \in [0, a_1] ... z \in [0, a_k]\)
每一個可以取 \(a_i +１\)種可能.
根據乘法原理約數個數\(= (a_1 + 1) \ast (a_2 + 1) \ast ...\ast (a_k + 1)\).
即:
\[\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1) \]
約數和定理
\(sum = \displaystyle \prod_{i =1}^n \sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j\)
證明：
現將n質因數分解.
\(n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)
則：其任意一因子p可表示為：
\(p=p_1^{b1}\times p_2^{b2}\times ... (0 =<b1<=a1,0=<b2<=a2,...)\)
根據乘法原理他們的和為：
\((p_1^0 +p_1^1 +…p_1^{a_1})(p_2^0 +p_2^1 +…p_2^{a_2})…(p_k^0+p_k^1 +…p_k ^{a_k})\)
所以sum = \(\displaystyle \prod_{i =1}^n \sum_{j = 0}^{a_i}p_i^j\)