前兩天對學習了R里面計算的基本范圍，以及一些求解方程的方法，今天來看看積分，其實上個學期學了數值分析，對這部分的算法是有所了解的，當時是用matlab寫了一遍，已經忘了怎么實現的了，現在用R重新寫一遍吧，算法有梯形積分法，辛普森積分法，自適應積分法。
- 梯形積分法
梯形積分法可以用下圖很好的解釋
就是將微積分的時候用的方法，取Δx,則一小塊面積就約等於f(x)*Δx，連續函數在Δx趨於0的時候，該公式會越來越精確。
###設置小數位數
options(digits = 8)
func1 <- function(x) return(4*x^3)
###梯形積分法
tixing <- function(func, a, b, n=100){
x <- 0
h <- (b-a)/n
for(i in 1:n){
x <- h*func(a+i*h) + x
}
return(x)
}
tixing(func1,0,1,n=10000)
###可以看到這種近似較為粗糙，可以稍微改進一些
tixing2 <- function(func, a, b, n=100){
h <- (b-a)/n
add_by <- seq(a,b,by=h)
f_x <- sapply(add_by,func)
x <- h*sum(f_x[1]/2,f_x[2:n],f_x[n+1]/2)
return(x)
}
tixing2(func1,0,1,n=100)
- 辛普森方法
辛普森方法和梯形方法類似，但是做了改進，前面我們改進的方法用的是梯形逼近，這樣子f(x)其實是表示成了一段直線，辛普森方法使用拋物線來擬合，可 以降低誤差。
這里直接給出辛普森的計算公式
S=h/3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+```+4f(xn-1)+f(xn))
###辛普森方法
simpson <- function(func, a, b, n=100){
h <- (b-a)/n
###奇數項
add_by_1 <- seq(a+h,b-h,by=2*h)
###偶數項
add_by_2 <- add_by_1+h
add_by_2 <- add_by_2[-length(add_by_2)]
x <- h/3*sum(func(a),4*sapply(add_by_1,func),2*sapply(add_by_2,func),func(b))
return(x)
}
目前為止我們指定了運算次數n，而不是指定誤差來計算，當然指定誤差也是可以的，考慮一種循環，每次n都增加1，就可以完成這個目標了，但是這樣運算 量會越來越大，所以推薦使用另一種方法，即公式本身具有的誤差，可以又其本身和其n階導數一起表示出來，具體的見數值分析相關書籍。
- 自適應積分法
這種方法我以前也沒有過接觸，書上講它的基本思想是越是陡峭（導數大）的函數，需要的分割越細，越是平坦（導數小）的函數，需要的分割越少。詳細 的，在進行運算的時候，先限定一個誤差，然后將函數分割為兩半，每邊的誤差均是誤差的一半。這種方法的程序我再思考一下，還沒想到怎么實現較好。