持續同調

構建VR復形(維托里斯-里普斯復形)

在二維平面中，構建從圓形結構中取樣的VR復形的可視化的主要步驟：

 隨着-圓的大小不斷變大，拓撲模型特征從誕生到消亡的圖像。能保持更長時間的特征是有用的特征，而壽命很短的特征更可能是噪聲。這個過程稱為持續同調，因為它發現了在你持續變化  時，拓撲空間中持續存在的同源特征。

 

鏈群

單純復形,  邊界的邊界總是 0

 

鏈復形

鏈復形：  是一個單純  復形。  是  的  鏈，  ，鏈復形  是  
換句話說

現在我們可以定義怎么在單純復形中找到  圈。

• 核：  的核（記作  ）是  鏈  的群，其中 
• 邊界的像：邊界  （一些  鏈的邊界）的像  是邊界的集合

 

同調群

• 第  個同調群：第  個同調群  定義為  。
• 連通數：第  個連通數  定義為  的維度，  。

 

貝蒂數

第 k 個貝蒂數是k維洞的個數。

Ex. 環面的貝蒂數 b ₀ = 1, b ₁ = 2, b ₂ = 1

• b₀： 連通分量的個數
• b₁： 1維或者 "circular" holes 的個數
• b₂ ： 2維 "voids" or "cavities"的個數

b_k(X)=dim(H_k(X))：For a non-negative integer k, the kth Betti number b_k(X) of the space X is defined as the rank (number of linearly independent generators) of the abelian group H_k(X), the kth homology group of X.

 

例子：