線段樹原理
線段樹是一顆二叉樹，他的每個節點對應的都是一個區間，主要是通過對區間的分割和合並來修改節點的值， 然后再得到答案。
現在給你一個 目的為求區間和 所造出來的線段樹 線段樹。如下圖所示。
仔細觀察，第一二三行方框內的值是他的下面2個子區間的和， 第四行的方框內的數字代表的是自身的值， 藍色代表的是這個方框他包含的區間， 紅色代表的是這個元素在數組中所儲存的位置。（在絕大多數博客中，我們默認區間的左兒子他的下標是當前區間下標的2倍，右兒子的下標是當前區間的2倍再加上1，這個下標是認為定義的，你也可以將對應關系修改）。
為什么說用線段樹可以節省求和時間呢， 假設我們需要查找區間 [1,8] 的和， 對於這個不用多說， 我們可以直接將最上面的那個46輸出，因為最上面的那個矩形代表的就是區間 [1,8] 的和。
然后假設我們要查找區間 [3,7] 的和， 剛開始我們出現在區間 [1,8]的位置， 但是對於目標區間來說 [1,8] 太大了， 所以我們要繼續往下走， 走到 [1,4] 和 [5,8] 的區間， 但是對於這2個區間來說， 還有一部分區域是落在查詢區間之外的， 所以我們需要繼續往下走，我們先分析區間 [1,4] , 對於他左兒子的區間[1,2]來說，沒有任意一個點是落在查詢區間內的， 所以我們不需要走到他的左兒子處， 然后走到右兒子[3,4]，可以發現 [3,4] 倍查詢區間覆蓋了， 所以我們就不需要往下走了， 因為整個區間都倍覆蓋了， 直接將這個點的值返回就好了， 因為這個點就是他下面節點的和。 然后我們再看區間[5,8]， 先往左走， 走到左兒子區間 [5,6] ，也可以發現該區間倍查詢區間覆蓋了，就不需要往下走了， 返回該節點的值，對於右兒子節點 [7,8] 來說，只有一部分區域倍查詢區間覆蓋， 所以我們還需要往下走，繼續往左邊走， 發現 [7,7] 是合法區域， 返回該值， {8,8]不是合法區域，所以不對這快里的數據進行處理。 所以最后的結果就是 [3,4] + [5,6] + [7,7] 這3個區間的和。 可能你會說就5個點而已， 我直接加過去時間也就這樣， 的確， 當點數小的時候線段樹的優勢並不會很明顯，但是如果查詢的區間長度會到達 1e5的話， 那么線段樹就可以省下很多時間了。
線段樹的某段區間內的值是可以修改的。
假設我們修改了區間[2,2]的值
我們就需要更新一下所有區間內含2的區間， 也就是順着[2,2]一直往上走 按次序更新 [2,2] -> [1,2] -> [1,4] -> [1,8] 這四個區間的值， 更新完了之后就可以繼續愉快的去查詢區間和了。
可以發現， 每一次對於一個點更新之后， 她執行的點的數目就是logn個， 如果你使用的是前綴和去寫的話， 就需要約更新n 個節點。
代碼實現
1，建樹，對於一顆樹需要先建樹。這里用到的是遞歸建樹。
1 void Build(int l, int r, int rt){ // l,r 代表的是這個區間內的左端點 和 右端點， rt代表的是 [l,r] 這個區間內的值是存在哪一個位置的。 2 if(l == r){ 3 scanf("%d", tree[rt]); /// tree[rt] = a[l]; 4 return ; 5 } 6 int m = (l+r) / 2; 7 Build(l,m,rt*2); // 對於區間區分，我們一般將m點划入左半邊區間 8 Build(m+1,r,rt*2+1); 9 PushUp(rt); // PushUp 函數是通過2個子節點來更新現在這個節點的狀態， 對於不同的要求需要不同的寫法。 10 }
1 void Build(int l, int r, int rt){ 2 if(l == r){ 3 scanf("%d", tree[rt]); /// tree[rt] = a[l]; 4 return ; 5 } 6 int m = (l+r) / 2; 7 Build(l,m,rt*2); 8 Build(m+1,r,rt*2+1); 9 PushUp(rt); 10 }
2，通過子節點來更新目前節點。
1 void PushUp(int rt){ 2 tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1]; ///區間和的更新操作 3 } 4 void PushUp(int rt){ 5 tree[rt] = max(tree[rt*2], tree[rt*2+1]);///求區域最大值的更新操作 6 }
1 void PushUp(int rt){ 2 tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1]; 3 } 4 void PushUp(int rt){ 5 tree[rt] = max(tree[rt*2], tree[rt*2+1]); 6 }
3，更新某個節點。
1 void Update(int l, int r, int rt, int L, int C){ // l,r,rt 與前面的定義一樣， L代表的是要更新區間的位置，C代表的是修改后的值 2 if(l == r){ /// 這里不能寫成 if(l == L) 因為有可能左端點恰好是要更新的位置， 但是還有右端點， 我們直接更新的只有區間 [L,L]。 3 tree[rt] = C; 4 return ; 5 } 6 int m = (l+r) / 2; 7 if(L <= m) Update( l, m, rt*2, L, C); //要更新的區間在左邊部分，所以往左邊走，更新左邊 8 else Update(m+1, r, rt*2+1, L, C); //要更新的區間在右邊部分， 往右邊走，更新右邊 9 PushUp(rt); //更新完子節點之后需要更新現在的位置， 需要保證線段樹的性質。 10 }
1 void Update(int l, int r, int rt, int L, int C){ 2 if(l == r){ 3 tree[rt] = C; 4 return ; 5 } 6 int m = (l+r) / 2; 7 if(L <= m) Update( l, m, rt*2, L, C); 8 else Update(m+1, r, rt*2+1, L, C); 9 PushUp(rt); 10 }
4, 查詢區間和
查詢的規則前面已經解釋過一次了。
1 int Query(int l, int r, int rt, int L, int R){// [L,R]為查詢區間 2 if(L <= l && r <= R){ // 如果成立則滿足查詢區間覆蓋了當前區間， 直接返回當前區間的值 3 return tree[rt]; 4 } 5 int m = (l+r) / 2; 6 int ret = 0; 7 if(L <= m) ret += Query(l, m, rt*2, L, R); //左邊有一部分需要查詢的區域。 8 if(m < R) ret += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R);//右邊有一部分。 9 return ret; 10 }
1 int Query(int l, int r, int rt, int L, int R){ 2 if(L <= l && r <= R){ 3 return tree[rt]; 4 } 5 int m = (l+r) / 2; 6 int ret = 0; 7 if(L <= m) ret += Query(l, m, rt*2, L, R); 8 if(m < R) ret += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R); 9 return ret; 10 }
總結
1。首先對於大多數線段樹題目來說， 第一步就是建樹。 建樹用法 Build(1,n,1)， [1,n]就是第一個節點所代表的區間長度。
2。在每次更新了點之后，為了保證線段樹性質， 一定要去執行PushUP操作，保證線段樹的性質不丟失。
3。線段樹的精華就是，每一個節點代表着一段區間，這個節點的值，就是他所代表的區間內的值。
4。當底層節點只有5個點的時候， 我們處理線段樹時， 需要將他變成8個節點， 如果給9個節點， 那么底層節點必須要有16個節點， 所以為了保證空間足夠用，所以需要將空間開大2倍，然后由於每一層的上方都還有 m/2個點（m為該層節點的數目）。
所以空間需要再大兩倍， 最終合起來就是4倍。 所以我們需要開 4n 的空間。
HDU-1166 線段樹求區間和
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int N = 50000+5; 4 int tree[N<<2], a[N]; 5 void PushUp(int rt) { 6 tree[rt] = tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1]; 7 } 8 void Build(int l, int r, int rt){ 9 if(l == r) { 10 tree[rt] = a[l]; 11 return ; 12 } 13 int m = l+r >> 1; 14 Build(l, m, rt*2); 15 Build(m+1, r, rt*2+1); 16 PushUp(rt); 17 } 18 void Update(int l, int r, int rt, int L, int C){ 19 if(l == r){ 20 tree[rt] += C; 21 return ; 22 } 23 int m = l+r >> 1; 24 if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, C); 25 else Update(m+1, r, rt*2+1, L, C); 26 PushUp(rt); 27 } 28 int Query(int l, int r, int rt, int L, int R){ 29 if(L <= l && r <= R) return tree[rt]; 30 int ans = 0; 31 int m = l+r >> 1; 32 if(L <= m) ans += Query(l, m, rt*2, L, R); 33 if(m < R) ans += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R); 34 return ans; 35 } 36 int main() 37 { 38 int t, n, x, y; 39 char str[100]; 40 scanf("%d", &t); 41 for(int i = 1; i <= t; i++) { 42 printf("Case %d:\n", i); 43 int n; 44 scanf("%d", &n); 45 for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); 46 Build(1,n,1); 47 while(~scanf("%s", str) && strcmp(str,"End") != 0) { 48 scanf("%d%d", &x, &y); 49 if(str[0] == 'Q') printf("%d\n", Query(1, n, 1, x, y)); 50 else if(str[0] == 'A') Update(1, n, 1, x, y); 51 else if(str[0] == 'S') Update(1, n, 1, x, -y); 52 } 53 } 54 return 0; 55 }
HDU-1754 線段樹求區間最大值
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 const int N = 200005; 5 int tree[N<<2], a[N]; 6 void PushUp(int rt) { 7 tree[rt] = max(tree[rt<<1], tree[rt<<1|1]); 8 } 9 void Build(int l, int r, int rt) { 10 if(l == r) { 11 tree[rt] = a[l]; 12 return ; 13 } 14 int m = l+r >>1; 15 Build(l, m, rt*2); 16 Build(m+1, r, rt*2+1); 17 PushUp(rt); 18 } 19 void Update(int l, int r, int rt, int L, int C) { 20 if(l == r) { 21 tree[rt] = C; 22 return; 23 } 24 int m = l+r >> 1; 25 if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, C); 26 else Update(m+1, r, rt*2+1, L, C); 27 PushUp(rt); 28 } 29 int Query(int l, int r, int rt, int L, int R) { 30 if(L <= l && r <= R) { 31 return tree[rt]; 32 } 33 int ret = -N, m = l+r >> 1; 34 if(L <= m) ret = max(ret, Query(l, m, rt*2, L, R)); 35 if(m < R) ret = max(ret, Query(m+1, r, rt*2+1, L, R)); 36 return ret; 37 } 38 int main() 39 { 40 int n, m; 41 char str[N]; 42 while(~scanf("%d%d", &n, &m)) { 43 for(int i = 1; i <= n; i++) 44 scanf("%d", &a[i]); 45 Build(1,n,1); 46 int i, j; 47 while(m--) { 48 scanf("%s%d%d", str, &i, &j); 49 if(str[0] == 'Q'){ 50 if(i > j) swap(i, j); 51 printf("%d\n", Query(1,n,1,i,j)); 52 } 53 else if(str[0] == 'U') 54 Update(1,n,1,i,j); 55 } 56 } 57 return 0; 58 59 }
區間更新 lazy標記
現在我們突然遇到這樣一個題目
這個題目和上面題目不同的地方是更新， 在這個題目中， 他更新數據是成段更新， 上面的題目都是一個點一個點更新， 並且更新的次數不是很少， 我們不可能去像點更新一樣， 將這些區域內的點都一個個更新過去。
前面提到過，線段樹的每一個節點都代表着一段區間的性質， 所以假如我們需要對於區間 [5,8] 里面的數都加上 10。（基於更新[2,2]后的那個線段樹）。
如果我們將一個個點覆蓋過去之后， 現在的這課樹是這樣的。
我們可以發現對節點3來說， 他所管轄的區間[5,8]都是要被更新的區間，並且他增加的指為40，即 區間長度（4） * 修改的值（10）。 我們可以發現，在區域更新的時候， 對於一個節點來說， 如果他所管理的區間 被 要更新的區間 覆蓋了， 那我們就提早了知道這一個節點的值。
然后我們引入一個概念， lazy標記， 還是對於開頭的情況來說， 如果我們使用了lazy標記之后， 這一課線段樹是這樣的
在這一顆樹上， 我們只修改了2個節點， 同時在節點3處增加了一個 lazy標記， 在這個標記中 lazy = 10。(即整段區間內每一個點都要加上的值）。接下來， 我們如果詢問區間[1,8]的和， 我們直接返回節點1就好了。 如果我們詢問區間 [3,8] 的和 那么只需要返回 [3,4] + [5,8] 的值。 我們可以看見如果不訪問[5,8]的子區間的時候， 我並不會用到里面的值。 在這些時候， 我們並不需要更新里面的值， 更不更新都一樣， 不會被訪問到。
如果我們現在需要查詢 [1,5]的和， 我們只需要將 lazy 標記下推，然后再更新對應的區間就好了。
然后我們返回 [1,4] + [5,5] 的值就好了。
總結就是：
lazy標記的含義就是延遲更新，在我們不需要訪問區間內部時就保留lazy標記的值，如果需要訪問內部的時候，我們要先將lazy標記下推， 因為可能lazy標記還需要繼續往下走。
在區域更新的時候，如果 當前區間 被 更新的區間完全覆蓋了， 就直接在這個節點加上 區間長度*修改的值， 並且更新這個點的lazy標記。
操作代碼：
PushDown --- 將lazy標記下推
1 void PushDown(int rt, int llen, int rlen){ 2 if(lazy[rt]){ 3 lazy[rt*2] += lazy[rt]; 4 lazy[rt*2+1] += lazy[rt]; 5 tree[rt*2] += lazy[rt] * llen; 6 tree[rt*2+1] += lazy[rt] * rlen; 7 lazy[rt] = 0; 8 } 9 }
void Update(int l, int r, int rt, int L, int R, int C){ if(L <= l && r <= R){ tree[rt] += (LL)C*(r-l+1); lazy[rt] += C; return; } int m = (l+r) / 2; PushDown(rt, m-l+1, r-m); if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, R, C); if(m < R) Update(m+1, r, rt*2+1, L, R, C); PushUp(rt); }
1 LL Query(int l, int r, int rt, int L, int R){ 2 if(L <= l && r <= R) return tree[rt]; 3 LL ans = 0; 4 int m = (l+r) / 2; 5 PushDown(rt, m-l+1, r-m); 6 if(L <= m) ans += Query(l, m, rt*2, L, R); 7 if(m < R) ans += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R); 8 return ans; 9 }
注意的就是每次對子區間進行修改的時候，我們都需要提前先把lazy標記下推。
所以一開始的那個題目我們就可以做了。
1 #include<cstdio> 2 #define LL long long 3 const int N = 1e5+10; 4 LL tree[N<<2]; 5 LL lazy[N<<2]; 6 int a[N]; 7 void PushUp(int rt){ 8 tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1]; 9 } 10 void PushDown(int rt, int llen, int rlen){ 11 if(lazy[rt]){ 12 lazy[rt*2] += lazy[rt]; 13 lazy[rt*2+1] += lazy[rt]; 14 tree[rt*2] += lazy[rt] * llen; 15 tree[rt*2+1] += lazy[rt] * rlen; 16 lazy[rt] = 0; 17 } 18 } 19 void Build(int l, int r, int rt){ 20 lazy[rt] = 0; 21 if(l == r){ 22 tree[rt] = a[l]; 23 return ; 24 } 25 int m = (l+r) / 2; 26 Build(l, m, rt*2); 27 Build(m+1, r, rt*2+1); 28 PushUp(rt); 29 } 30 void Update(int l, int r, int rt, int L, int R, int C){ 31 if(L <= l && r <= R){ 32 tree[rt] += (LL)C*(r-l+1); 33 lazy[rt] += C; 34 return; 35 } 36 int m = (l+r) / 2; 37 PushDown(rt, m-l+1, r-m); 38 if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, R, C); 39 if(m < R) Update(m+1, r, rt*2+1, L, R, C); 40 PushUp(rt); 41 } 42 LL Query(int l, int r, int rt, int L, int R){ 43 if(L <= l && r <= R) return tree[rt]; 44 LL ans = 0; 45 int m = (l+r) / 2; 46 PushDown(rt, m-l+1, r-m); 47 if(L <= m) ans += Query(l, m, rt*2, L, R); 48 if(m < R) ans += Query(m+1, r, rt*2+1, L, R); 49 return ans; 50 } 51 int main(){ 52 int n, m, i, j, c; 53 char str[N]; 54 while(~scanf("%d%d", &n, &m)){ 55 for(int i = 1; i <= n; i++) 56 scanf("%d", &a[i]); 57 Build(1, n, 1); 58 while(m--){ 59 scanf("%s", str); 60 if(str[0] == 'Q'){ 61 scanf("%d%d", &i, &j); 62 printf("%lld\n", Query(1,n,1,i,j)); 63 } 64 else if(str[0] == 'C'){ 65 scanf("%d%d%d", &i, &j, &c); 66 Update(1,n,1,i,j,c); 67 } 68 } 69 } 70 return 0; 71 }
再來一道
1 #include<cstdio> 2 #define LL long long 3 const int N = 1e5+10; 4 int tree[N<<2]; 5 int lazy[N<<2]; 6 int a[N]; 7 8 void PushUp(int rt){ 9 tree[rt] = tree[rt*2] + tree[rt*2+1]; 10 } 11 void Build(int l, int r, int rt){ 12 lazy[rt] = 0; 13 if(l == r){ 14 tree[rt] = 1; 15 return ; 16 } 17 int m = (l+r) / 2; 18 Build(l, m, rt*2); 19 Build(m+1, r, rt*2+1); 20 PushUp(rt); 21 } 22 void PushDown(int rt, int llen, int rlen){ 23 if(lazy[rt]){ 24 lazy[rt*2] = lazy[rt]; 25 lazy[rt*2+1] = lazy[rt]; 26 tree[rt*2] = lazy[rt] * llen; 27 tree[rt*2+1] = lazy[rt] * rlen; 28 lazy[rt] = 0; 29 } 30 } 31 void Update(int l, int r, int rt, int L, int R, int C){ 32 if(L <= l && r <= R){ 33 tree[rt] = C*(r-l+1); 34 lazy[rt] = C; 35 return; 36 } 37 int m = (l+r) / 2; 38 PushDown(rt, m-l+1, r-m); 39 if(L <= m) Update(l, m, rt*2, L, R, C); 40 if(m < R) Update(m+1, r, rt*2+1, L, R, C); 41 PushUp(rt); 42 } 43 int main(){ 44 int t, n, m, i, j, c; 45 scanf("%d", &t); 46 for(int cas = 1; cas <= t; cas++){ 47 scanf("%d%d", &n, &m); 48 Build(1, n, 1); 49 while(m--){ 50 scanf("%d%d%d", &i, &j, &c); 51 Update(1, n, 1, i, j, c); 52 } 53 printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n", cas, tree[1]); 54 } 55 return 0; 56 }
到此關於線段樹的查詢 單點更新 區域更新都介紹完了。
還有一種特殊的思想是： 線段樹求逆序對。