\(Pre\)：其實線段樹已經學了很久了，突然想到線段樹這個數據結構比較重要吧，想寫篇全面的總結，幫助自己復習，同時造福廣大\(Oier\)（雖然線段樹的思維難度並不高）。本篇立志做一篇最淺顯易懂，最全面的線段樹講解，采用\(lyd\)寫的《算法競賽進階指南》上的順序，從最基礎的線段樹到較深入的主席樹，本篇均會涉及，並且附有一定量的習題，以后可能會持續更新，那么現在開始吧！
關於作者，，，他咕了。。。。
目錄一覽
- 更新日志
- 線段樹想\(AC\)之基本原理（霧*1
- 線段樹想偷懶之懶標記（霧*2
- 線段樹想應用之掃描線（霧*3
- 線段樹想瘦身之開點與合並（霧*4
- 線段樹想持久之主席樹（霧*5
- 線段樹想帶修之樹套樹（霧*6
線段樹想...不，你不想
更新日志
5.19 update：懶標記20%完成。
5.12 update：添加題目鏈接，然后頹去了。
5.11 update：修改部分字詞，基本原理基本完成，大綱完成。
5.4 update：基本原理20%完成。
線段樹想\(AC\)之基本原理
什么是線段樹啊？
首先，你得有樹的基本知識。
然后。
以下內容摘自百度百科
很懵？沒關系，我們繼續。
其實，線段樹（\(Segment\) \(Tree\)）是一種基於分治思想的二叉樹結構，（Q1：為什么一定是二叉？）如果你學過樹狀數組，你會清楚地知道兩者的差異性，並且隨着學習的深入，你會發現線段樹是一種更為通用的數據結構。
可以說，只要是能滿足區間可加性（也就是大區間的信息能由它的兩個子區間整理得到）的操作，大都可以用線段樹解決。有時可能會有一些奇奇怪怪的操作。。。
最基本的線段樹包含以下幾個概念：
- 線段樹每個節點表示一個區間
- 線段樹的唯一根節點表示整個區間統計范圍，如[\(1,N\)]。
- 線段樹的每個葉節點表示一個長度為\(1\)的元區間，如[\(x,x\)]。
- 線段樹上的每個節點[\(l,r\)]，它的左子節點是[\(l,mid\)]，右子節點是[\(mid+1,r\)]，其中\(mid=(l+r)/2\)（這是線段樹的標准寫法，也有其他不同的寫法，但作為初學者，還是從標准入手好）。
如圖，這就是一棵線段樹。我們可以發現，當整個區間統計長度為\(2\)的整數次冪時，整棵線段樹一定是一棵完全二叉樹（Q2：為什么），那我們就可以用堆的編號方法來給線段樹來編號啊（其實圖中已經編好了）。
即：
- 根節點編號為\(1\)。
- 編號為\(x\)的節點，它的左兒子編號為\(x*2\)，右兒子編號為\(x*2+1\)。
這樣，我們就可以用一個數組來存所有節點的編號了！
至於正確性，，，既然你都學到線段樹了，那就不用我說了吧。。。
誒等等，那萬一整個區間長度不是\(2\)的整數次冪呢？
看這張圖！
可以驚訝地發現，我們同樣可以使用父子二倍標記法。正確性顯然，只不過，正是因為這種情況，所以樹的最后一層節點編號在數組中的位置可能不是連續的。
如果區間長度為\(N\)，在最理想的狀況下，即\(N\)是\(2\)的整數次冪時，\(N\)個葉節點的滿二叉樹有\(N+N/2+N/4+...+1=2N-1\)個節點。只要不是這種情況，那就還有一層，所以我們保存線段樹節點編號的數組長度要大於等於\(4N\)。
於是線段樹信息儲存如下：
struct SegmentTree {
int l, r;//每個區間左右端點
int dat;//區間數據
//其他一些附加信息
}sak[4*MAX];
當然，線段樹的寫法多種多樣，這是最穩的一種，還有一種是記錄左右兒子編號的，后面我們再說，\(zkw\)線段樹就不介紹了吧。。。
建樹
我們需要從根節點“\(1\)”出發，向下遞歸建樹，並把每個節點所代表的區間賦給它。當到達了根節點，便傳值，再向上維護信息。
以維護區間和為例，我們可以這樣建樹：
inline void build(int p, int l, int r) {
sak[p].l = l, sak[p].r = r;
if (l == r) {//葉節點賦值
sak[p].sum = a[l];
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
build(2*p, l, mid);//遞歸建左兒子樹
build(2*p + 1, mid + 1, r);//遞歸建右兒子樹
sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上傳遞區間和的信息
}
單點修改
顯然，每次操作，我們都需要從根節點開始遍歷，遞歸找到需要修改的葉子節點，然后修改，然后向上傳遞信息。（Q3：正確性）
inline void change(int p, int x, int val) {
if (sak[p].l == sak[p].r) { sak[p].sum = val; return; }//找到x位置
int mid = (l + r) / 2;
if (x <= mid) change(p*2, x, val)
else change(p*2+1, x, val);
sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上傳遞區間和的信息
因為整棵樹的深度是\(logN\)，所以單次修改的時間復雜度為\(O(logN)\)。
區間查詢
這里直接給出算法過程，正確性顯然。
- 若當前節點所表示的區間已經被詢問區間所完全覆蓋，則立即回溯，並傳回該點的信息。
- 若當前節點的左兒子所表示的區間已經被詢問區間所完全覆蓋，就遞歸訪問它的左兒子。
- 若當前節點的右兒子所表示的區間已經被詢問區間所完全覆蓋，就遞歸訪問它的右兒子。
以返回區間和為例：
inline ll ask(int p, int l, int r) {
if (l <= sak[p].l && r >= sak[p].r) {//對應1操作
return sak[p].sum;
}
pushdown(p);
ll val = 0;
int mid = (sak[p].l + sak[p].r) / 2;
if (l <= mid) val += ask(2*p, l, r);//對應2操作
if (r > mid) val += ask(2*p + 1, l, r);//對應3操作
return val;
}
【例題】Can you answer on these queries 3
需要你提供一種數據結構使之能夠查詢區間最大連續子段和，並且支持單點修改。
讓我們來分析一下，在區間上進行操作自然而然可以想到樹狀數組或者是線段樹。這里單點修改好辦，難就難在查詢上。
想一想怎么辦？或者說，我們如何整理子區間的信息？
仔細思考后，我們會發現，一個區間上的連續最大和只有幾種情況：
- 連續最大和的區間只在左兒子所對應的區間上。
- 連續最大和的區間只在右兒子所對應的區間上。
- 連續最大和的區間橫跨左右兒子的區間。
\(1\)和\(2\)這兩種情況好弄，直接繼承取最值，可情況\(3\)呢？
除了維護區間和，區間最大連續子段和，我們還需維護緊靠左端的最大連續子段和，以及緊靠右端的最大連續子段和。
於是每次更新時，我們就可以用子區間的信息來更新當前區間了。
具體代碼其他的博客也有介紹，但最好自己想一想，我就不打了，因為懶，思維懂了，代碼就來了。
【習題】Interval GCD
題目大意：需要提供一種數據結構使之能夠查詢區間gcd，並且支持區間加法。
題解：咕咕咕中。。。
Q&A：
- A1：既然你都看到這里了，就不用我說了吧。
- A2：畫個圖再\(YY\)一下，無需多說。
- A3：修改的節點只包含在遞歸時經過的區間中，所以只會對遞歸時經過的區間產生影響。
線段樹想偷懶之懶標記
【引題】A Simple Problem with Intergers
就是叫你實現區間修改，區間查詢嘛。
考慮之前講到的線段樹。如果用線段樹的單點修改，我們需要先改變葉子節點的值，然后不斷地向上遞歸修改祖先節點直至到達根節點，時間復雜度最高可以到達\(O(nlogn)\)的級別，這還是單次操作，更別說有\(10^5\)次指令了。。。
現在思考，該怎么辦呢？
我們想，如果已經到達了屬於答案區間范圍內的節點，我們就直接對該節點進行一系列的操作，然后直接返回。這樣，一定能保證本次區間更新的正確性。(很顯然啊)，可我們知道，區間更新不只一次，如果照剛剛那樣更新而不進行任何后處理的話，那么該節點的子節點都未更新，勢必會導致答案錯誤。於是，我們需要一種東西來記錄下節點的更新信息，以便下次更新時處理。
我們考慮引入一個名叫\(lazytag\)（懶標記）的東西——之所以稱其為\(lazytag\)，是因為當我們引入懶標記后，我們不會去更新已經覆蓋答案區間的子節點，只有在接下來的操作中我們才可能會用到該區間的子區間。所以這次操作就無需更新。區間更新的期望復雜度就降到了\(O(logn)\)的級別。(感性理解下)
那如何實現呢？
我們思考前面大家做題遇到的\(pushup\)，（沒用過的可以去刷刷前面的題了）它的實質是在線段樹中向上傳遞信息，放在遞歸之后，那我們要做到\(pushdown\)，不就是在線段樹中從上往下傳遞信息嗎？那就把\(pushdown\)直接放在每次遞歸之前就行了啊。
於是，我們就可以如此標記。
inline void change(int p, int l, int r, int d) {
if (l <= sak[p].l && r >= sak[p].r) {
sak[p].sum += (ll)d*(sak[p].r - sak[p].l+1);
sak[p].add += d;
return;
}
pushdown(p);
int mid = (sak[p].l + sak[p].r) / 2;
if (l <= mid) change(2*p, l, r, d);
if (r > mid) change(2*p + 1, l, r, d);
sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;
}
順着代碼理思路也是種不錯的選擇。
咕咕咕中。。。