李超線段樹

因為太弱了，所以只會用單調隊列、CDQ分治、平衡樹來維護凸殼，然后被\(zjp\_shadow\)聚聚在博客底下給D了一頓，所以辣雞yyb就來學一下了。
（似乎整個機房就我不會了）

首先先明白這個東西在干啥

你要資磁動態維護一個平面直角坐標系，資磁在中間插入一條線段，資磁詢問與\(x=x0\)這條直線相交的所有線段中，交點的\(y\)軸坐標的最大(小)值。

我們要維護的東西是這個：維護這個區間內的所有直線中，從上往下能夠看到的最長的那個線段，也就是沒有被其他直線覆蓋長度最大的段。

考慮怎么插入一條直線，假設它當前處理到了某個區間：

• 如果這個區間沒有記錄最長的線段，那么直接把這個區間記錄的線段修改為這條線段，然后返回。
• 如果當前線段在這個區間內已經被這個區間內的最長線段為覆蓋，那么直接\(gg\)，返回就好了。
• 反過來，如果完全覆蓋了之前記錄的線段，那么直接賦值、返回。
• 否則和已經記錄的直線有交，判斷哪根線段覆蓋的區域較長，把這個區間記錄的值給修改一下，然后把短的那一半丟下去遞歸。

這樣子復雜度是啥呢？顯然維護復雜度看起來不太對的就是最后一項，但是不難證明每次遞歸下去直線長度都至少要減少一半，所以這個東西的復雜度就是一個\(log\)的。
至於詢問？那就是單點詢問啦，在線段樹上一直走到這個單點為之，把路徑上所有記錄的線段拿出來取一個\(max\)就好啦。

比如BZOJ1568就是模板題QwQ。
當然了，上面這題是每次插入一條直線，這樣子只需要一個\(log\)，如果每次插入一條線段的話還是要稍微變一下的，即要先找到對應的區間再在這個區間內插入這個線段，這樣子復雜度是兩個\(log\)的，代碼戳這里。

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然后\(zjp\)說可以用李超線段樹直接維護斜率優化，想了想的確可以，我這里隨便搬一道題目過來。

[HNOI2010]玩具裝箱

首先寫暴力\(O(n^2)\)的轉移，設\(S_i\)是\(C_i\)的前綴和。

\[f[i]=\min_{j=0}^{i-1}f[j]+(i-j-1+S_i-S_j-L)^2 \]

\[f[i]=\min_{j=0}^{i-1}f[j]+(i-j-1)^2+(S_i-S_j-L)^2+2(i-j-1)(S_i-S_j-L) \]

然后把式子拆開，和\(j\)無關的直接移出去，只和\(j\)相關的放在一起，同時和\(i,j\)相關的放在一起。
那么分類之后就是這樣的：
和\(j\)無關的：\(i^2-2i+1+S_i^2+L^2-2LS_i+2iS_i-2iL-2S_i+2L\)
只和\(j\)有關的：\(f[j]+j^2+2j+S_{j}^2+2LS_j+2jS_j+2jL+2S_j\)
同時和\(i,j\)相關的：\(-2ij-2S_iS_j-2iS_j-2jS_i=-2(i+S_i)(j+S_j)\)
一共\(22\)項，似乎沒有什么問題。(其實可以直接令\(M_i=i-1+S_i-L\)，但是為了鍛煉拆式子能力就這樣吧......算了，我編不下去了.....)
那么把和\(j\)無關的部分記做\(pre[i]\)，只和\(j\)有關的記做\(y[j]\)，\(j+S_j\)記做\(x[j]\)，\(2(i+S_i)\)記做\(k_i\)。
那么轉移方程可以改寫成：

\[f[i]=pre[i]+\min_{j=0}^{i-1}(-k_ix[j]+y[j]) \]

而\(k_i\)是一個常數，我們把后面這個式子理解為一個一次函數\(y=kx+b\)的形式，得到\(b=y-kx\)。
什么意思呢？平面上有若干個點\((x[j],y[j])\)，你要過這些點畫一條斜率為\(k_i\)的直線，使得其截距最小。
不難發現滿足條件的\(j\)一定在下凸殼上。
這里有個很優秀的性質，也就是\(k_i,x[j]\)都是單增的。
這樣子凸殼可以直接用單調隊列維護，而取最優值只需要每次找到凸殼左側最優位置就好啦。

上面是直接用斜率優化，然后單調隊列維護凸殼的做法（我直接從別的文章里蒯過來的）
那么我們把那個式子換一下，把\(y[j]\)寫成\(b[j]\)，\(-x[j]\)寫成\(k[j]\)，
那么轉移就是

\[f[i]=pre[i]+\min_{j=0}^{i-1}2(i+S_i)k[j]+b[j] \]

於是問題變成了，平面上有若干條直線，現在你要詢問在\(x=2(i+S_i)\)處的最小值，所以可以直接使用李超線段樹來維護。（雖然復雜度多了一個\(log\)）。