- 論域為離散時模糊控制的離線計算
當論域為離散時，經過量化后的輸入量的個數是有限的。因此可以針對輸入情況的不同組合離線計算出相應的控制量，從而組成一張控制表，實際控制時只要直接查這張控制表即可，在線運算量是很少的。這種離線計算、在線查表的模糊控制方法比較容易滿足實時控制的要求。下圖表示了這種模糊控制系統的結構。
下面通過一個具體例子來說明離線模糊計算的過程。設X、Y、Z∈{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}，T(x)={NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB}，T(y)=T(z)={NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}
語言變量x的隸屬度函數如下表：
語言變量y和z的隸屬度函數同下表：
模糊控制規則如下表所示：
設已知輸入為x0和y0，模糊化運算采用單點模糊集合，則相應的輸入量模糊集合A'和B'分別為
$$\mu_{A'}(x)=\left\{\begin{matrix}
1 \quad x=x_0\\
0 \quad x\neq x_0
\end{matrix}\right. \quad
\mu_{B'}(y)=\left\{\begin{matrix}
1 \quad y=y_0\\
0 \quad y\neq y_0
\end{matrix}\right.$$
比如，假設x輸入為-4，則輸入的模糊集合為：$A'=\frac{0}{-6}+\frac{0}{-5}+\frac{1}{-4}+\frac{0}{-3}+...+\frac{0}{5}+\frac{0}{6}$
根據書中的模糊推理方法及性質，可求得輸出量的模糊集合C'為（假設and用求交法，also用求並法，合成用最大—最小法，模糊蘊含用求交法）
$$\begin{align*}
C'&=(A' \times B')\circ R=(A' \times B')\circ \bigcup_{i=1}^{56} R_i\\
&=\bigcup_{i=1}^{56}(A' \times B')\circ [(A_i \times B_i)\rightarrow C_i]\\
&=\bigcup_{i=1}^{56}[A' \circ (A_i \rightarrow C_i)]\cap [B' \circ (B_i \rightarrow C_i)]\\
&=\bigcup_{i=1}^{56}C_{iA}' \cap C_{iB}'\\
&=\bigcup_{i=1}C_i'
\end{align*}$$
直接根據公式$C'=(A' \times B')\circ R=(A' \times B')\circ \bigcup_{i=1}^{56} R_i$計算輸出C'的代碼如下：
x=[1.0 0.8 0.7 0.4 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0; % 語言變量x的隸屬度函數,8*13
0.2 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0.1 0.3 0.7 1.0 0.7 0.2 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.1 0.6 1.0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.2 0.7 1.0 0.7 0.3 0.1 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0.7 1.0 0.7 0.3;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.4 0.7 0.8 1.0];
y=[1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; % 語言變量y和z的隸屬度函數,7*13
0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0];
z=y;
TABLE=[ 1 1 1 1 2 4 4;
1 1 1 1 2 4 4;
2 2 2 2 4 5 5;
2 2 3 4 5 6 6;
2 2 3 4 5 6 6;
3 3 4 6 6 6 6;
4 4 6 7 7 7 7;
4 4 6 7 7 7 7];% TABLE中元素為模糊控制規則表中每個元素在矩陣z中的行數
R_AB=zeros(13,13);
R_i=zeros(169,13);
R=zeros(169,13); % 模糊關系矩陣,169*13
for i=1:8 % 控制規則表x從NB—>PB
for j=1:7 % 控制規則表y從NB—>PB
A=x(i,:); % 取A為矩陣x的第i行
B=y(j,:); % 取B為矩陣y的第j行
Ur=TABLE(i,j); % x第i行和y的第j列對應的控制規則
C=z(Ur,:); % C為根據模糊控制規則推出結果對應的模糊集合
for m=1:13 % x的論域量化為13個等級-6~6
for n=1:13 % y的論域量化為13個等級-6~6
if A(m)<B(n)
R_AB(m,n)=A(m); % 取小運算
else
R_AB(m,n)=B(n);
end
end
end
R_AB1=reshape(R_AB',169,1); % 需要注意的是reshape是按列讀取，然后按列擺放
for m=1:169
for n=1:13 % 矩陣R_i(m,n)為169行13列
if R_AB1(m)<C(n)
R_i(m,n)=R_AB1(m); % 取小運算
else
R_i(m,n)=C(n);
end
end
end
%*************求總的模糊關系矩陣*****************
for m=1:169
for n=1:13
if R(m,n)<R_i(m,n)
R(m,n)=R_i(m,n); % 模糊並運算，取大
end
end
end
end
end
%***************計算輸出量的模糊集合*********************
OUTPUT = zeros(13,13);
for i=1:13
for j=1:13
A1=zeros(1,13); A1(i)=1; % 單點模糊集合A'
B1=zeros(1,13); B1(j)=1; % 單點模糊集合B'
for m=1:13
for n=1:13
if A1(m)<B1(n)
R_AB(m,n)=A1(m); %取小運算
else
R_AB(m,n)=B1(n);
end
end
end
R_AB1=reshape(R_AB',169,1);
U=zeros(1,13);
for m=1:13
for n=1:169
U(m)=max(min(R_AB1(n),R(n,m)),U(m)); %模糊關系矩陣的合成運算
end
end
%*********************重心法去模糊化********************************
temp = 0;
for m=1:13
temp = temp + U(m)* (m-7);
end
OUTPUT(i,j) = temp/sum(U);
end
end
當輸入的維數較高，即有很多個模糊子句用and相連時，模糊推理的計算便比較復雜。根據模糊推理的性質(參考《智能控制理論與技術》第2版 2.5.4)，推導出新的計算公式，每個子模糊蘊含關系都比較簡單，模糊矩陣的維數也較低，並不隨着and連接的模糊子句的個數增加而增加。這種方式計算C'的MATLAB代碼如下：
clc; % 清空命令窗口
clear; % 清空變量
x=[1.0 0.8 0.7 0.4 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0; % 語言變量x的隸屬度函數,8*13
0.2 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0.1 0.3 0.7 1.0 0.7 0.2 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.1 0.6 1.0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.2 0.7 1.0 0.7 0.3 0.1 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0.7 1.0 0.7 0.3;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.4 0.7 0.8 1.0];
y=[1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; % 語言變量y和z的隸屬度函數,7*13
0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0 0.7 0.3;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3 0.7 1.0];
z=y;
TABLE=[ 1 1 1 1 2 4 4;
1 1 1 1 2 4 4;
2 2 2 2 4 5 5;
2 2 3 4 5 6 6;
2 2 3 4 5 6 6;
3 3 4 6 6 6 6;
4 4 6 7 7 7 7;
4 4 6 7 7 7 7];% TABLE中元素為模糊控制規則表中每個元素在矩陣z中的行數
R_iA=zeros(13,13);
R_iB=zeros(13,13);
Ci=zeros(1,13);
OUTPUT=zeros(13,13);
for xi=1:13 % 輸入變量x的13個取值：-6~6
for yi=1:13 % 輸入變量y的13個取值：-6~6
U=zeros(1,13);
for i=1:8 % 控制規則表x從NB—>PB
for j=1:7 % 控制規則表y從NB—>PB
A=x(i,:); % 取A為矩陣x的第i行
B=y(j,:); % 取B為矩陣y的第j行
Ur=TABLE(i,j); % x第i行和y的第j列對應的控制規則
C=z(Ur,:); % C為根據模糊控制規則推出結果對應的模糊集合
for m=1:13
for n=1:13
if A(m)<C(n)
R_iA(m,n)=A(m); % 取小運算(算A→C的蘊含關系)
else
R_iA(m,n)=C(n);
end
end
end
C_iA=zeros(1,13);
A=zeros(1,13); A(xi)=1; % 單點模糊集合A'
for m=1:13
for n=1:13
C_iA(m)=max(min(A(n),R_iA(n,m)),C_iA(m)); %模糊關系合成運算
end
end
%**********************************************************
for m=1:13
for n=1:13
if B(m)<C(n)
R_iB(m,n)=B(m); % 取小運算(算B→C的蘊含關系)
else
R_iB(m,n)=C(n);
end
end
end
C_iB=zeros(1,13);
B=zeros(1,13); B(yi)=1; % 單點模糊集合B'
for m=1:13
for n=1:13
C_iB(m)=max(min(B(n),R_iB(n,m)),C_iB(m)); %模糊關系合成運算
end
end
%**********************************************************
for m=1:13
Ci(m)=min(C_iA(m),C_iB(m));
end
for m=1:13
U(m)=max(Ci(m),U(m)); % 56條規則求並
end
end
end
%*********************重心法去模糊化********************************
temp = 0;
for m=1:13
temp = temp + U(m)* (m-7);
end
OUTPUT(xi,yi) = temp/sum(U);
end
end
最終的模糊控制查詢表如下：
參考：