又見斐波那契~矩陣快速冪入門題

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來源：牛客網

題目描述

這是一個加強版的斐波那契數列。

給定遞推式

求F(n)的值，由於這個值可能太大，請對10 ⁹+7取模。

輸入描述:

第一行是一個整數T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示樣例的個數。
以后每個樣例一行，是一個整數n(1 ≤ n ≤ 10

¹⁸

)。

輸出描述:

每個樣例輸出一行，一個整數，表示F(n) mod 1000000007。

示例1

輸入

4
1
2
3
100

輸出

1
16
57
558616258

這題是一題矩陣快速冪的模板題，表示第一次碰到矩陣快速冪然后就順便學一下，其實和快速冪差不多。
矩陣快速冪的難點一般是構造矩陣，但是這題遞推公式給了我們還是非常容易構造出矩陣的。
難題一般都是讓我們自己去推公式，然后再通過公式寫出所需要的矩陣。

遞推公式給了我們，
就是要找到一個矩陣A 【f(i),f(i-1),(i+1)^3,(i+1)^2,(i+1),1】 * A =【f(i-1),f(i-2),i^3,i^2,i,1】;
如果學過線代，這個是非常容易推出來的。
然后就通過矩陣的性質，   F【n】=A^(n-1)*F【1】;
知道這些，就會發現這不就是一個SB題嗎

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn = 1e2 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL ;
struct mat
{
    LL m[maxn][maxn];
    mat() {
       memset(m,0,sizeof(m));
    }
    mat operator * (mat &a ) {
       mat ans;
       for (int i=0 ;i<6 ;i++  ){
          for (int j=0 ;j<6 ;j++) {
              for (int k=0 ;k<6 ;k++) {
                 ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+m[i][k]*a.m[k][j])%mod;
              }
          }
       }
       return ans;
    }
};
mat modexp(mat a,LL b)
{
    mat ans;
    for (int i=0 ;i<6 ;i++ ) ans.m[i][i]=1;
    while(b) {
        if (b&1) ans=ans*a;
        b=b>>1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}
int main() {
    long long  mm[6][6] = {
        {1, 1, 1, 1, 1, 1},
        {1, 0, 0, 0, 0, 0},
        {0, 0, 1, 3, 3, 1},
        {0, 0, 0, 1, 2, 1},
        {0, 0, 0, 0, 1, 1},
        {0, 0, 0, 0, 0, 1}
    };
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        LL  n;
        mat ans;
        for (int i = 0 ; i < 6 ; i++) {
            for (int j = 0 ; j < 6 ; j++) {
                ans.m[i][j] = mm[i][j];
            }
        }
        scanf("%lld", &n);
        ans = modexp(ans, n - 1);
        printf("%lld\n", (ans.m[0][0] + ans.m[0][2] * 8 + ans.m[0][3] * 4 + ans.m[0][4] * 2 + ans.m[0][5]) % mod);
    }
    return 0;
}