51nod 1242 斐波那契數列的第N項 (用矩陣快速冪加速遞推）

1242 斐波那契數列的第N項

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斐波那契數列的定義如下：

 

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

 

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

給出n，求F(n)，由於結果很大，輸出F(n) % 1000000009的結果即可。

 

Input

輸入1個數n(1 <= n <= 10^18)。

Output

輸出F(n) % 1000000009的結果。

Input示例

11

Output示例

89

矩陣快速冪：需要會矩陣乘法和快速冪算法。
矩陣乘法按照定義去模擬即可。

快速冪算法模板：

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

　　

矩陣乘法模板：

struct matrix
{
    ll m[2][2]; 
};
matrix mul(matrix A,matrix B)
{
    matrix ret;
    for(int i=0;i<2;i++)//枚舉行
        for(int j=0;j<2;j++)//枚舉列
        {
            ret.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                ret.m[i][j]+=A.m[i][k]*B.m[k][j]%mod;
        }
    return ret;
}

　　

AC代碼：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 1000000009
struct matrix
{
    ll m[2][2];
};
matrix mul(matrix A,matrix B)
{
    matrix ret;
    for(int i=0;i<2;i++)//枚舉行
        for(int j=0;j<2;j++)//枚舉列
        {
            ret.m[i][j]=0;
            for(int k=0;k<2;k++)
                ret.m[i][j]+=A.m[i][k]*B.m[k][j]%mod;
        }
    return ret;
}
matrix pow(matrix A,long long n)
{
    matrix ret;
    ret.m[0][0]=1;
    ret.m[0][1]=0;
    ret.m[1][0]=0;
    ret.m[1][1]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ret=mul(ret,A);
        A=mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    matrix ans,A;
    ans.m[0][0]=1;
    ans.m[0][1]=0;
    A.m[0][0]=1;
    A.m[0][1]=1;
    A.m[1][0]=1;
    A.m[1][1]=0;

    ans=mul(ans,pow(A,n-1));
    cout<<ans.m[0][0]<<endl;
    return 0;
}