話說博主在寫 Max Chunks To Make Sorted II 這篇帖子的解法四時，寫到使用單調棧Monotone Stack的解法時，突然腦中觸電一般，想起了之前曾經在此貼 LeetCode All in One 題目講解匯總(持續更新中...) 的留言區中說要寫單調棧的總結帖，當時答應了要寫，就去 LeetCode 上看標記為 Stack 的題，可是發現有好多題，而且很多用的不是單調棧，於是博主一個一個的看了起來，但是無奈太多了，一直沒有時間全部看完，就一直沒有動筆寫。雖說時間就像那啥，擠擠總會有的，但是這不一個恍惚，半年就過去了，如果博主再不開始寫，等回過神來，絕對又是半年。於是，博主決定改變策略，不去看所有題的，而是好壞不多想，直接動筆先寫個大概，留到以后慢慢補充完整吧。
好，廢話不多說，來說單調棧吧。所謂的單調棧 Monotone Stack，就是棧內元素都是單調遞增或者單調遞減的，有時候需要嚴格的單調遞增或遞減，根據題目的具體情況來看吧。關於單調棧，這個帖子講的不錯，而且舉了個排隊的例子來類比。那么，博主也舉個生動的例子來說明吧：比如有一天，某家店在發 free food，很多人在排隊，於是你也趕過去湊熱鬧。但是由於來晚了，隊伍已經很長了，想着不然就插個隊啥的。但發現排在隊伍最前面的都是一些有紋身的大佬，惹不起，只能贊美道，小豬佩奇身上紋，來世還做社會人。於是往隊伍后面走，發現是一群小屁孩，直接全部攆走，然后排在了社會大佬們的后面。那么這就是一個單調遞減的棧，按實力遞減。由於棧元素是后進先出的，所以上面的例子正確的檢查順序應該是從隊尾往前遍歷，小屁孩都攆走，直到遇到大佬停止，然后排在大佬后面（假設這個隊列已經事先按實力遞減排好了）。
明白了單調棧的加入元素的過程后，我們來看看它的性質，以及為啥要用單調棧。單調棧的一大優勢就是線性的時間復雜度，所有的元素只會進棧一次，而且一旦出棧后就不會再進來了。
單調遞增棧可以找到左起第一個比當前數字小的元素。比如數組 [2 1 4 6 5]，剛開始2入棧，數字1入棧的時候，發現棧頂元素2比較大，將2移出棧，此時1入棧。那么2和1都沒左起比自身小的數字。然后數字4入棧的時候，棧頂元素1小於4，於是1就是4左起第一個小的數字。此時棧里有1和4，然后數字6入棧的時候，棧頂元素4小於6，於是4就是6左起第一個小的數字。此時棧里有1，4，6，然后數字5入棧的時候，棧頂元素6大於5，將6移除，此時新的棧頂元素4小於5，那么4就是5左起的第一個小的數字，最終棧內數字為 1，4，5。
單調遞減棧可以找到左起第一個比當前數字大的元素。這里就不舉例說明了，同樣的道理，大家可以自行驗證一下。
性質搞懂了后，下面來看一下應用，什么樣的場景下適合使用單調棧呢？可以看下 Max Chunks To Make Sorted II 這篇帖子的解法四，但這道題並不是單調棧的最典型應用，只能說能想到用單調棧確實牛b，但一般情況下是不容易想到的。我們來看一些特別適合用單調棧來做的題目吧。
首推 Trapping Rain Water 這道題，雖然博主開始也沒有注意到可以使用單調棧來做。但實際上是一道相當合適的題，來復習一下題目：
For example,
Given [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1], return 6.
給了邊界的高度（黑色部分），讓求能裝的水量（藍色部分）。 為啥能用單調棧來做呢？我們先來考慮一下，什么情況下可以裝下水呢，是不是必須兩邊高，中間低呢？我們對低窪的地方感興趣，就可以使用一個單調遞減棧，將遞減的邊界存進去，一旦發現當前的數字大於棧頂元素了，那么就有可能會有能裝水的地方產生。此時我們當前的數字是右邊界，我們從棧中至少需要有兩個數字，才能形成一個坑槽，先取出的那個最小的數字，就是坑槽的最低點，再次取出的數字就是左邊界，我們比較左右邊界，取其中較小的值為裝水的邊界，然后此高度減去水槽最低點的高度，乘以左右邊界間的距離就是裝水量了。由於需要知道左右邊界的位置，所以我們雖然維護的是遞減棧，但是棧中數字並不是存遞減的高度，而是遞減的高度的坐標。這應該屬於單調棧的高級應用了，可能並不是那么直接就能想出正確的解法。
再來看一道 Largest Rectangle in Histogram，這道求直方圖中的最大矩陣的題，也是非常適合用單調棧來做的，來復習一下題目：
For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.
我們可以看到，直方圖矩形面積要最大的話，需要盡可能的使得連續的矩形多，並且最低一塊的高度要高。有點像木桶原理一樣，總是最低的那塊板子決定桶的裝水量。那么既然需要用單調棧來做，首先要考慮到底用遞增棧，還是用遞減棧來做。我們想啊，遞增棧是維護遞增的順序，當遇到小於棧頂元素的數就開始處理，而遞減棧正好相反，維護遞減的順序，當遇到大於棧頂元素的數開始處理。那么根據這道題的特點，我們需要按從高板子到低板子的順序處理，先處理最高的板子，寬度為1，然后再處理旁邊矮一些的板子，此時長度為2，因為之前的高板子可組成矮板子的矩形 ，因此我們需要一個遞增棧，當遇到大的數字直接進棧，而當遇到小於棧頂元素的數字時，就要取出棧頂元素進行處理了，那取出的順序就是從高板子到矮板子了，於是乎遇到的較小的數字只是一個觸發，表示現在需要開始計算矩形面積了，為了使得最后一塊板子也被處理，這里用了個小trick，在高度數組最后面加上一個0，這樣原先的最后一個板子也可以被處理了。由於棧頂元素是矩形的高度，那么關鍵就是求出來寬度，那么跟之前那道 Trapping Rain Water 一樣，單調棧中不能放高度，而是需要放坐標。由於我們先取出棧中最高的板子，那么就可以先算出長度為1的矩形面積了，然后再取下一個板子，此時根據矮板子的高度算長度為2的矩形面積，以此類推，直到數字大於棧頂元素為止，再次進棧，巧妙的一比！
初步來總結一下單調棧吧，單調棧其實是一個看似原理簡單，但是可以變得很難的解法。線性的時間復雜度是其最大的優勢，每個數字只進棧並處理一次，而解決問題的核心就在處理這塊，當前數字如果破壞了單調性，就會觸發處理棧頂元素的操作，而觸發數字有時候是解決問題的一部分，比如在 Trapping Rain Water 中作為右邊界。有時候僅僅觸發作用，比如在 Largest Rectangle in Histogram 中是為了開始處理棧頂元素，如果僅作為觸發，可能還需要在數組末尾增加了一個專門用於觸發的數字。另外需要注意的是，雖然是遞增或遞減棧，但里面實際存的數字並不一定是遞增或遞減的，因為我們可以存坐標，而這些坐標帶入數組中才會得到遞增或遞減的數。所以對於玩數組的題，如果相互之間關聯很大，那么就可以考慮考慮單調棧能否解題。
應用實例：
Largest Rectangle in Histogram
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參考資料：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/26465701
https://chuckliu.me/#!/posts/585a2cb4f33c18149026f0be
https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/50752861